Question

如圖所示，兩個質量相等而粗糙程度不同的物體m₁和m₂，分別固定在一細棒的兩端，放在一傾角為α的斜面上，設m₁和m₂與斜面的摩擦因數(shù)為μ₁和μ₂，并滿足tanα=

μ1μ2

，細棒的質量不計，與斜面不接觸，試求兩物體同時有最大靜摩擦力時棒與斜面上最大傾斜線AB的夾角θ的余弦值（最大靜摩擦力依據(jù)滑動摩擦力公式計算）

Answer 1

系統(tǒng)處于平衡時，兩物體所受輕桿的作用等值反向，沿斜面方向物體受力平衡，矢量關系如圖：

在力矢量三角形中運用余弦定理：
b²=（2c）²+a²-4accosφ
cosφ=

4c2+a2-b2

4ca

sinφ=

(4ac)2-(4c2+a2-b2)

4ac

a、b、c表示各力如圖中所對應，
又由余弦定理：（

asinφ

sinθ

）²=a²+c²-2accosφ
sin²θ=

a2sin2φ

a2+c2-2accosφ

=1-

(a2-b2)2

8c2(a2+c2-2c2)

則cosθ=

a2-b2

8c2(a2+c2-2c2)

代入abc的值得：cosθ=

μ1+μ2

2 2μ1+μ2

答：最大傾斜線AB的夾角θ的余弦值為：cosθ=

μ1+μ2

2 2μ1+μ2

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