Question

將一總質(zhì)量為m、總電阻為R、每邊邊長為L的均勻?qū)Ь�制成的正方形閉合線框ABCD置于磁場方向垂直紙面向里、磁感強(qiáng)度大小按B=B₀+ky變化（k為大于零的常數(shù)）的水平有界磁場上方h處，如圖所示．從圖示位置靜止釋放線框，運(yùn)動過程中線框平面保持在豎直平面內(nèi)，且CD邊始終與x軸平行． 當(dāng)線框在有界磁場中下降h₀（h₀＜L）高度時達(dá)到最大速度，線框的AB邊剛進(jìn)入磁場時開始做勻速運(yùn)動，重力加速度為g，求：
（1）當(dāng)CD邊剛進(jìn)入磁場切割磁感線時，CD兩點間的電勢差大�。�
（2）當(dāng)線框在有界磁場中下降h₀高度時速度大小v₁；
（3）線框從開始釋放到線框AB邊剛進(jìn)入磁場的過程中產(chǎn)生的電能△E．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)自由落體運(yùn)動規(guī)律得，v=

2gh

，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求出CD邊切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為E=B₀Lv，根據(jù)閉合回路歐姆定律，CD兩點間的電勢差大�。�
（2）當(dāng)線框在有界磁場中下降h₀高度時，根據(jù)電磁感應(yīng)定律和閉合電路歐姆定律得到電路中產(chǎn)生的感應(yīng)電流I=

(B0+kh0)Lv1

R

．線框加速度為零達(dá)到最大速度，由平衡條件求解v₁．
（3）線框勻速直線運(yùn)動時，受力平衡，根據(jù)平衡條件可求得線框勻速運(yùn)動的速度，再運(yùn)用能量守恒定律求解電能△E．

解答：解：（1）設(shè)CD邊剛進(jìn)入磁場切割磁感線時的速度大小為v，根據(jù)自由落體運(yùn)動規(guī)律得：v=

2gh

根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得，CD邊切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為：E=B₀Lv
根據(jù)閉合回路歐姆定律，CD兩點間的電勢差大小：U_CD=

3

4

E
解得：U_CD=

3

4

B0L

2gh

（2）當(dāng)線框在有界磁場中下降h₀高度時，根據(jù)電磁感應(yīng)定律和閉合電路歐姆定律可得，
電路中產(chǎn)生的感應(yīng)電流：I=

(B0+kh0)Lv1

R

線框加速度為零達(dá)到最大速度，即：mg=（B₀+kh₀）LI
解得：v₁=

mgR

(B0+kh0)2L2

（3）線框的AB邊剛進(jìn)入磁場時，電路中的感應(yīng)電流為：
I′=

[(B0+kL)-B0]Lv2

R

根據(jù)線框開始做勻速直線運(yùn)動可得：mg=[（B₀+kL）-B₀]LI′
根據(jù)能量守恒定律可得：△E=mg（h+L）-

1

2

m

v

2 2

解得：△E=mg（h+L）-

m3g2R2

2k4L8

答：（1）當(dāng)CD邊剛進(jìn)入磁場切割磁感線時，CD兩點間的電勢差大小為

3

4

B0L

2gh

；
（2）當(dāng)線框在有界磁場中下降h₀高度時速度大小v₁為

mgR

(B0+kh0)2L2

．
（3）線框從開始釋放到線框AB邊剛進(jìn)入磁場的過程中產(chǎn)生的電能△E為mg（h+L）-

m3g2R2

2k4L8

．

點評：本題考查了電磁感應(yīng)與力學(xué)和能量的綜合，難度中等，電磁感應(yīng)是高考的重點和熱點問題，需加強(qiáng)訓(xùn)練．