Question

（2013?普陀區(qū)二模）在“利用單擺測(cè)重力加速度”的實(shí)驗(yàn)中：
（1）已知單擺小球的質(zhì)量為m，擺長(zhǎng)為l，某地重力加速度為g，當(dāng)單擺做擺角不超過(guò)5°的振動(dòng)時(shí)，通過(guò)證明可以得到回復(fù)力F=-kx，其中k=

mg

l

．
（2）某同學(xué)嘗試用DIS測(cè)量周期．如圖甲所示，用一個(gè)磁性小球代替原先的擺球，在單擺下方放置一個(gè)磁傳感器，其軸線恰好位于單擺懸掛點(diǎn)正下方．使單擺做小角度擺動(dòng)，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度測(cè)量值最大時(shí)，磁性小球位于最低點(diǎn)．若測(cè)得連續(xù)N個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度最大值之間的時(shí)間間隔為t，則單擺周期的測(cè)量值為

2t

N-1

（地磁場(chǎng)和磁傳感器的影響可忽略）．
（3）經(jīng)理論推導(dǎo)可知，單擺在任意擺角θ時(shí)的周期公式可近似為T=T₀（1+

1

4

sin²

θ

2

），式中T₀為當(dāng)擺角θ趨近于0°時(shí)的周期．為了用圖象法驗(yàn)證該關(guān)系式，若某同學(xué)在實(shí)驗(yàn)中得到了如圖乙所示的圖線，則圖線的斜率為

4

T0

，縱軸截距為

-4

．

Answer 1

分析：（1）擺動(dòng)時(shí)，擺球受重力與繩子的拉力，重力的切向分量提供回復(fù)力，其大小為mgsinθ，當(dāng)角度很小時(shí)，F(xiàn)=-mg

x

l

，故k=

mg

l

；
（2）單擺做小角度擺動(dòng)，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度測(cè)量值最大時(shí)，磁性小球位于最低點(diǎn)（或平衡位置）．若測(cè)得連續(xù)N個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度最大值之間的時(shí)間間隔為t，則單擺的周期為：T=

2t

N-1

（3）根據(jù)T=T₀（1+

1

4

sin²

θ

2

），得到sin²

θ

2

=

4

T0

?T-4，故圖象是sin²

θ

2

-T圖象．

解答：解：（1）擺動(dòng)時(shí)，重力的切向分量提供回復(fù)力，其大小為mgsinθ；
當(dāng)角度θ很小時(shí)，有θ=

x

l

；
∴F=-mgsinθ=-mg

x

l

，故k=

mg

l

；
（2）單擺做小角度擺動(dòng)，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度測(cè)量值最大時(shí)，磁性小球位于最低點(diǎn)（或平衡位置）．若測(cè)得連續(xù)N個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度最大值之間的時(shí)間間隔為t，是

N-1

2

個(gè)周期，則單擺的周期為：T=

2t

N-1

（3）根據(jù)T=T₀（1+

1

4

sin²

θ

2

），得到sin²

θ

2

=

4

T0

?T-4，故乙圖是sin²

θ

2

-T圖象，斜率為

4

T0

，縱軸截距為-4；
故答案為：
（1）

mg

l

；
（2）

2t

N-1

；
（3）

4

T0

，-4．

點(diǎn)評(píng)：本題第三問(wèn)關(guān)鍵根據(jù)表示對(duì)分析出sin²

θ

2

與T是線性關(guān)系，然后根據(jù)截距情況得到是sin²

θ

2

-T圖象，而不是T-sin²

θ

2

圖象，較難．