Question

如圖所示，在xoy平面內(nèi)，y軸左側(cè)有沿x軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E；在0＜x＜L區(qū)域內(nèi)，x軸上、下方有相反方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小均為2E；在x＞L的區(qū)域內(nèi)有垂直于xoy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小不變、方向做周期性變化．一電荷量為q、質(zhì)量為m的帶正電粒子（粒子重力不計(jì)），由坐標(biāo)為（-L，

L

2

）的A點(diǎn)靜止釋放．
（1）求粒子第一次通過(guò)y軸時(shí)速度大��；
（2）求粒子第一次射入磁場(chǎng)時(shí)的位置坐標(biāo)及速度；
（3）現(xiàn)控制磁場(chǎng)方向的變化周期和釋放粒子的時(shí)刻，實(shí)現(xiàn)粒子能沿一定軌道做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，求磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B大小取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對(duì)于粒子從A點(diǎn)到y(tǒng)軸的過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理求解粒子第一次通過(guò)y軸時(shí)速度大��；
（2）進(jìn)入0＜x＜L區(qū)域間偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)作類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)的分解法，求出偏轉(zhuǎn)的距離，確定第一次射入磁場(chǎng)時(shí)的位置坐標(biāo)．由速度的合成求出粒子第一次射入磁場(chǎng)時(shí)的速度．
（3）在磁場(chǎng)中，粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，求出軌跡半徑表達(dá)式．要實(shí)現(xiàn)粒子能沿一定軌道做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡關(guān)于x軸必須對(duì)稱(chēng)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性和幾何關(guān)系得到軌跡半徑的最小值，求得B的最大值，從而求得磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B大小取值范圍．

解答：解：（1）粒子從A點(diǎn)到y(tǒng)軸的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理得：qEL=

1

2

m

v

2 0

-0
得：v0=

2qEL m

（2）進(jìn)入0＜x＜L區(qū)域間偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)作類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，則得：
  L=v₀t，
  △y=

1

2

×

q×2E

m

t2，
  vy=

2qE

m

t
解得：△y=

1

2

L，v_y=v₀
所以第一次射入磁場(chǎng)時(shí)的位置坐標(biāo)為（L，L）；    
速度大�。�v=

v 2 0 + v 2 y

=

4qEL m

，方向與x軸正方向成45°角斜向上．
（3）在磁場(chǎng)中，粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)向心力公式有：
    qvB=

mv2

R

軌道半徑：R=

mv

qB

由對(duì)稱(chēng)性可知，射出磁場(chǎng)后必須在x軸下方的電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，才能實(shí)現(xiàn)粒子沿一定軌道做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，如圖所示．       
當(dāng)CC₁=

L

2

+

L

2

+

L

2

=

3L

2

時(shí)，軌道半徑R最小，對(duì)應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B最大，粒子緊貼x軸進(jìn)入y軸左側(cè)的電場(chǎng)．
由幾何關(guān)系得 R2+R2=C

C

2 1

得最小半徑：R=

3 2

4

L，
磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值：Bmax=

mv

qR

=

4 2mEqL

3qL

磁感應(yīng)強(qiáng)度大小取值范圍為：0＜B＜

4 2mEqL

3qL

答：（1）粒子第一次通過(guò)y軸時(shí)速度大小為

2qEL m

；
（2）粒子第一次射入磁場(chǎng)時(shí)的位置坐標(biāo)為（L，L），速度為

4qEL m

；
（3）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B大小取值范圍為0＜B＜

4 2mEqL

3qL

．

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是將粒子的運(yùn)動(dòng)沿著水平方向和豎直方向正交分解，然后根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式分析求解；
對(duì)于粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)過(guò)程，解題過(guò)程中要畫(huà)出軌跡圖分析，特別是第三小題，要畫(huà)出準(zhǔn)確的圓軌跡圖分析才能有助與問(wèn)題的解決．