Question

如圖甲所示，在x＞0的空間中存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B；一質(zhì)量為m、帶電量為q（q＞0）的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O處，以初速度v₀沿x軸正方向射入，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡見(jiàn)圖甲，不計(jì)粒子的重力．

（1）求該粒子運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)=h時(shí)的速度大小v．
（2）現(xiàn)只改變?nèi)肷淞Ｗ映跛俣鹊拇笮�，發(fā)現(xiàn)初速度大小不同的粒子雖然運(yùn)動(dòng)軌跡（y-x曲線(xiàn)）不同，但是，沿x軸方向具有相同的空間周期性，如圖乙所示；同時(shí)，這些粒子在y軸方向的運(yùn)動(dòng)具有相同的時(shí)間周期性，即都有相同的周期T=

2πm

qB

其y-t圖象如圖丙所示．試求粒子在一個(gè)周期T內(nèi)，沿x軸方向前進(jìn)的距離s．
（3）現(xiàn)只改變?nèi)肷淞Ｗ映跛俣鹊拇笮�，發(fā)現(xiàn)初速度大小不同的粒子雖然運(yùn)動(dòng)軌跡（y-x曲線(xiàn)）不同，但是，對(duì)任一個(gè)軌跡來(lái)說(shuō)，粒子在y=0處和在y方向的最大位移y_m處所受的合外力總是大小相等、方向相反．試求當(dāng)入射粒子的初速度大小為2v₀時(shí)，該粒子在y方向的最大位移y_m．

Answer 1

分析：（1）粒子在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中只有電場(chǎng)力做功，根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)=h時(shí)的速度大小v．
（2）通過(guò)圖乙可知，所有粒子在一個(gè)周期T內(nèi)沿x軸方向前進(jìn)的距離相同，即都等于恰好沿x軸方向做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的粒子在T時(shí)間內(nèi)前進(jìn)的距離s．根據(jù)qv₁B=qE求出粒子沿x軸方向勻速運(yùn)動(dòng)的速度，從而得出一個(gè)周期內(nèi)沿x軸方向運(yùn)動(dòng)的位移．
（3）粒子在y=0處和在y方向的最大位移y_m處所受的合外力大小相等、方向相反，有q?2v₀?B-qE=-（qv₂B-qE），結(jié)合動(dòng)能定理求出在y方向的最大位移y_m

解答：解：（1）由于洛倫茲力不做功，只有電場(chǎng)力做功，由動(dòng)能定理得：
-qEh=

1

2

mv2-

1

2

mv02…（1）
解得：v=

v02- 2qEh m

…（2）
（2）由圖乙可知，所有粒子在一個(gè)周期T內(nèi)沿x軸方向前進(jìn)的距離相同，即都等于恰好沿x軸方向做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的粒子在T時(shí)間內(nèi)前進(jìn)的距離s．設(shè)粒子恰好沿x軸方向做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的速度大小為v₁，則：
qv₁B=qE…（3）
又：s=v₁T…（4）
T=

2πm

qB

…（5）
聯(lián)立（3）（4）（5）式解得：s=

2πmE

qB2

…
（3）設(shè)粒子在y方向的最大位移為y_m，粒子運(yùn)動(dòng)的速度大小為v₂（方向沿x軸），根據(jù)該粒子在y=0處和在y方向的最大位移y_m處所受的合外力大小相等、方向相反，可得：
q?2v₀?B-qE=-（qv₂B-qE）…（6）
由動(dòng)能定理得：
-qEym=

1

2

mv22-

1

2

m(2v0)2…（7）
聯(lián)立（6）（7）兩式解得：
ym=

2m

qB

(2v0-

E

B

)．
答：（1）該粒子運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)=h時(shí)的速度大小v=

v02- 2qEh m

．
（2）粒子在一個(gè)周期T內(nèi)，沿x軸方向前進(jìn)的距離s=

2πmE

qB2

．
（3）粒子在y方向的最大位移ym=

2m

qB

(2v0-

E

B

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，過(guò)程較復(fù)雜，關(guān)鍵理清粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合動(dòng)能定理和洛倫茲力和電場(chǎng)力知識(shí)進(jìn)行解決．