Question

如圖所示，質(zhì)量為m的絕緣球與質(zhì)量為M=19m的金屬球并排懸掛，已知懸掛絕緣球的細(xì)線的長(zhǎng)度為l．現(xiàn)將絕緣球拉至與豎直方向成θ=60⁰的位置自由釋放，下擺后在最低點(diǎn)與金屬球發(fā)生彈性碰撞．在平衡位置附近存在垂直于紙面的磁場(chǎng)．已知由于磁場(chǎng)的阻尼作用，金屬球?qū)⒂谠俅闻鲎睬巴Ｔ谧畹忘c(diǎn)處．求
（1）絕緣球與金屬球第一次碰撞前瞬間的速度大�。�
（2）絕緣球與金屬球第一次碰撞后瞬間的速度大小和方向；
（3）經(jīng)過(guò)幾次碰撞后絕緣球偏離豎直方向的最大角度將小于45⁰．

Answer 1

分析：先根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小球返回最低點(diǎn)的速度，然后根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律求出碰撞后小球的速度，對(duì)速度表達(dá)式分析，求出碰撞n次后的速度表達(dá)式，再根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出碰撞n次后反彈的最大角度，結(jié)合題意討論即可．

解答：解：（1）設(shè)小球m的擺線長(zhǎng)度為l，小球m在下落過(guò)程中與M相碰之前滿足機(jī)械能守恒：
mgl(1-cosθ)=

1

2

mv02，
解得：v₀=

gl

          
（2）m和M碰撞過(guò)程滿足：
mv₀=MV_M+mv₁；

1

2

mv02=

1

2

mv12+

1

2

MVM2      
聯(lián)立得：v1=

m-M

m+M

v0=-

9

10

gl

，負(fù)號(hào)表示速度的方向水平向右．
（3）由（1）可知，小球m反彈后又以反彈速度v₁和小球M發(fā)生碰撞，滿足：
mv₁=MV_M1+mv₂

1

2

mv12=

1

2

mv22+

1

2

MVM12
解得：v2=

m-M

m+M

|v1|
整理得：v2=-(

m-M

m+M

)2v0；
所以：vn=|(

m-M

m+M

)nv0|
而偏離方向?yàn)?5°的臨界速度滿足：mgl(1-cos45°)=

1

2

mv臨界2
聯(lián)立代入數(shù)據(jù)解得，當(dāng)n=2時(shí)，v₂＞v_臨界；
當(dāng)n=3時(shí)，v₃＜v_臨界．所以最多碰撞3次．   
答：（1）絕緣球與金屬球第一次碰撞前瞬間的速度大小為

gl

；
（2）絕緣球與金屬球第一次碰撞后瞬間的速度大小為

9

10

gl

，方向水平向右；
（3）經(jīng)過(guò)3次碰撞后絕緣球偏離豎直方向的最大角度將小于45°．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵求出第一次反彈后的速度和反彈后細(xì)線與懸掛點(diǎn)的連線與豎直方向的最大角度，然后對(duì)結(jié)果表達(dá)式進(jìn)行討論，得到第n次反彈后的速度和最大角度，再結(jié)合題意求解．