Question

（2011?浙江模擬）如圖，在直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)M（0，1）處不斷向+y方向發(fā)射出大量質(zhì)量為m、帶電量為-q的粒子，粒子的初速度大小廣泛分布于零到v₀之間．已知這些粒子此后所經(jīng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向里，所有粒子都沿+x方向經(jīng)過b區(qū)域，都沿-y的方向通過點(diǎn)N（3，0）．
（1）通過計(jì)算，求出符合要求的磁場范圍的最小面積；
（2）若其中速度為k₁v₀和k₂v₀的兩個(gè)粒子同時(shí)到達(dá)N點(diǎn)（1＞k₁＞k₂＞0），求二者發(fā)射的時(shí)間差．

Answer 1

分析：帶電粒子沿y軸正方向射入，在磁場的洛倫茲力作用下發(fā)生偏轉(zhuǎn)，然后所以粒子沿+x方向經(jīng)過b區(qū)域，則磁場的右邊界由數(shù)學(xué)關(guān)系推導(dǎo)出與R無關(guān)，而是一條直線．那么磁場的左邊界則是一段圓弧，其半徑由洛倫茲力提供向心力公式求解得．由于對稱，則可求出磁場的最小面積．兩種粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間是相等，它們發(fā)射的時(shí)間差是因速度不同導(dǎo)致的．

解答：解

（1）在a區(qū)域，設(shè)任一速度為v的粒子偏轉(zhuǎn)90°后從（x，y）離開磁場，
由幾何關(guān)系有x=R，y=R+

mv0

qB

，
    得y=x+

mv0

qB

，
上式與R無關(guān)，說明磁場右邊界是一條直線
左邊界是速度為v₀的粒子的軌跡：qv0B=m

v02

R0

，得：R0=

mv0

qB

此后粒子均沿+x方向穿過b區(qū)域，進(jìn)入c區(qū)域，由對稱性知，其磁場區(qū)域如圖．
磁場的面積S=2(

1

4

πR02-

1

2

R02)=(

π

2

-1)

m2v02

q2B2

（2）如圖所示，速度為k₁v₀的粒子在a區(qū)域磁場的時(shí)間為t1=

πm

2qB

兩個(gè)階段的直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間共為t2=

3 mv0 qB -2 mk1v0 qB

k1v0

=(

3

k1

-2)

m

qB

在c區(qū)域磁場的時(shí)間為t3=

πm

2qB

所以這兩個(gè)粒子的發(fā)射時(shí)間差只與t₂有關(guān)
速度為k₂v₀的粒子在直線運(yùn)動(dòng)階段的時(shí)間為

t

′ 2

=(

3

k2

-2)

m

qB

    △t=(

3

k2

-2)

m

qB

-(

3

k1

-2)

m

qB

=

3m

qB

(

1

k2

-

1

k1

)

點(diǎn)評：利用數(shù)學(xué)表達(dá)式，導(dǎo)出磁場右邊界的函數(shù)關(guān)系式．同時(shí)相同粒子不同速度在磁場中的時(shí)間是相等，由于速度的不同，導(dǎo)致直線運(yùn)動(dòng)中時(shí)間不一．