Question

如圖所示，光滑水平面AB與位于豎直面內(nèi)的半圓形軌道在B點(diǎn)平滑連接，半圓形軌道表面粗糙，半徑為R．一個(gè)質(zhì)量為m的靜止小物塊在A點(diǎn)處壓緊彈簧，彈簧彈開時(shí)小物塊在彈力的作用下獲得動(dòng)能向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它到達(dá)B點(diǎn)進(jìn)入半圓軌道的瞬間，小物塊對(duì)軌道的壓力為其自身重力的7倍，之后沿軌道向上恰能完成圓運(yùn)動(dòng)到達(dá)C點(diǎn)．求：
（1）彈簧對(duì)小物塊的彈力所做的功；
（2）小物塊從B點(diǎn)沿圓軌道至C點(diǎn)的過程中克服阻力所做的功；
（3）小物塊離開C點(diǎn)后落回水平面時(shí)距B點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析：（1）物塊在B點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律可以求出到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度，然后由能量守恒定律可以求出彈簧對(duì)物塊所做的功；
（2）物體恰能通過最高點(diǎn)，故說明此時(shí)重力恰好充當(dāng)向心力，由向心力公式可得出C點(diǎn)的速度；由動(dòng)能定理可以求出克服摩擦力所做的功．
（3）物體離開C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可求得物體落回到水平面上經(jīng)過的水平距離．

解答：解：（1）物塊在B點(diǎn)時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng)，
由牛頓第二定律得：F-mg=m

v2

R

  ①，
由牛頓第三定律得：F=F′=7mg  ②，
彈簧對(duì)物塊做的功轉(zhuǎn)化為物塊的動(dòng)能，
彈簧對(duì)物體做的功W=

1

2

mv²=3mgR；
（2）物塊恰能完成圓運(yùn)動(dòng)到達(dá)C點(diǎn)，
在C點(diǎn)由牛頓第二定律得：mg=m

v 2 C

R

物塊在C點(diǎn)的速度：v_C=

gR

  ③，
從B到C過程中，由動(dòng)能定理得：
W_f-mg?2R=

1

2

mv_C²-

1

2

mv²  ④，
由①②③④解得：W_f=-

1

2

mgR，
則克服摩擦力做功

1

2

mgR；
（3）物塊離開C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，
在豎直方向上：2R=

1

2

gt²，t=

4R g

，
水平方向：x=v_Ct=

gR

×

4R g

=2R；
答：（1）彈簧對(duì)小物塊的彈力所做的功為3mgR；（2）小物塊從B點(diǎn)沿圓軌道至C點(diǎn)的過程中克服阻力所做的功為

1

2

mgR；（3）小物塊離開C點(diǎn)后落回水平面時(shí)距B點(diǎn)的距離為2R．

點(diǎn)評(píng)：本題可分為彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能、動(dòng)能轉(zhuǎn)化為重力勢(shì)能及平拋三個(gè)過程，三個(gè)過程中機(jī)械能均守恒，正確利用好機(jī)械能守恒定律即可正確求解．