Question

豎直平面內(nèi)的軌道ABC由水平滑道AB與光滑的四分之一圓弧道BC平滑連接組成，軌道放在光滑的水平面上．一個(gè)質(zhì)量為m=1kg的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從軌道的A端以初速度v₀=8m/s沖上水平滑道AB，沿著軌道運(yùn)動，由CB弧滑下后停在水平滑道AB的中點(diǎn)．已知軌道ABC的質(zhì)量為M=3kg．求：
（1）小物塊和滑道相對靜止時(shí)共同的速度；
（2）若小物塊恰好不從C端離開滑道，圓弧滑道的半徑R應(yīng)是多大？
（3）若增大小物塊的初速度，使得小物塊沖出軌道后距離水平滑道AB的最大高度是2R，小物塊的初速度v₀應(yīng)多大．

Answer 1

分析：（1）物塊沖上滑道AB后的運(yùn)動過程中，系統(tǒng)水平方向不受外力，動量守恒，物塊最終與滑道的速度相同，由動量守恒定律求最終速度；
（2）若小物塊剛好到達(dá)D處，此時(shí)它與軌道有共同的速度，此速度與上題最終速度相等，根據(jù)整個(gè)過程功能關(guān)系列式求解．
（3）根據(jù)動量守恒和能量定恒列出等式求解．

解答：解：（1）小物塊沖上軌道的初速度設(shè)為v₀，最終停在AB的中點(diǎn)，跟軌道有相同的速度，設(shè)為V₁．在這個(gè)過程中由系統(tǒng)動量定恒有
mv₀=（M+m）v₁①
可得v₁=2m/s②
（2）小物塊沖上軌道到最終停在AB的中點(diǎn)，設(shè)物塊與軌道間滑動摩擦力為f，由能量定恒

3

2

fL=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

（M+m）

v

2 1

③
若小物塊恰好到達(dá)C端，此時(shí)它與軌道有共同的速度V₁，在此過程中系統(tǒng)總的動能減少轉(zhuǎn)化為內(nèi)能和物塊的勢能
fL+mgR=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

（M+m）

v

2 1

④
由③、④解得，要使物塊恰好不從C點(diǎn)離開滑道，圓弧半徑應(yīng)為
R=0.8m⑤
（3）設(shè)物塊以初速度v′₀上軌道，可以在到的最大高度為2R，物塊從C點(diǎn)離開軌道，其水平方向的速度總與軌道速度相等，達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，
物塊水平跟軌道的速度相等（設(shè)為V₂）
mv′₀=（m+M）v₂ ⑥

1

2

m

v′

2 0

=

1

2

（m+M）

v

2 2

+mg?2R+fL⑦
由⑥、⑦可得

v′

2 0

=9.25m/s
答：（1）小物塊和滑道相對靜止時(shí)共同的速度是2m/s；
（2）若小物塊恰好不從C端離開滑道，圓弧滑道的半徑R應(yīng)是0.8m
（3）若增大小物塊的初速度，使得小物塊沖出軌道后距離水平滑道AB的最大高度是2R，小物塊的初速度v₀應(yīng)是9.25m/s

點(diǎn)評：能根據(jù)動量守恒條件判斷系統(tǒng)動量守恒并能列式求解，能根據(jù)機(jī)械能守恒條件判斷系統(tǒng)機(jī)械能守恒并列式求解是解決本題兩問的關(guān)鍵．