Question

（2010?南開(kāi)區(qū)一模）如圖所示，坐標(biāo)系xOy在豎直平面內(nèi)，空間有沿水平方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，在x＞0的空間里有沿x軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)的大小為E，一個(gè)帶正電的小球經(jīng)過(guò)圖中的x軸上的A點(diǎn)，沿著與水平方向成θ=30°角的斜向下直線做勻速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)y軸上的B點(diǎn)進(jìn)入x＜0的區(qū)域，要使小球進(jìn)入x＜0區(qū)域后能在豎直面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，需在x＜0區(qū)域另加一勻強(qiáng)電場(chǎng)，若帶電小球做圓周運(yùn)動(dòng)通過(guò)x軸上的C點(diǎn)（C點(diǎn)未標(biāo)出），且

.

OA

=

.

OC

，設(shè)重力加速度為g，求：
（1）小球運(yùn)動(dòng)速率的大��；
（2）在x＜0的區(qū)域所加電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小和方向；
（3）小球從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)所用時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）球在AB段做勻速直線運(yùn)動(dòng)，重力、電場(chǎng)力和洛倫茲力三力平衡，由平衡條件可求解小球運(yùn)動(dòng)的速度大��；
（2）小球進(jìn)入x＜0區(qū)域后在豎直面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則電場(chǎng)力與重力平衡，即可求得場(chǎng)強(qiáng)大小和方向；
（3）球在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期是T=

2πR

v

，畫(huà)出小球運(yùn)動(dòng)軌跡，確定出軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角，可求出時(shí)間．

解答：解：（1）小球從A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中，小球受重力、電場(chǎng)力和洛倫茲力作用而處于平衡狀態(tài)，如圖右圖所示．由題設(shè)條件知sin30°=

qE

Bqv

，
所以小球的運(yùn)動(dòng)速率為  v=

2E

B

．
（2）小球在x＜0的區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則小球的重力與所受的電場(chǎng)力平衡，洛倫茲力提供做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．則
    mg=qE，
 又 tan30°=

qE

mg

．
所以 E′=

3

E，方向豎直向上．
（3）如圖所示，連接BC，過(guò)B作AB的垂線交x軸于O′．
因?yàn)?θ=30°，所以∠AO′B=60°，又

.

OA

=

.

OC

，
故∠OCB=θ=30°，所以∠CBO′=30°，
 

.

O′C

=

.

O′B

，則O’為小球做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心
且 qvB=m

v2

R

，R=

mv

Bq

，T=

2πR

v

=

2πm

Bq

，
由于∠CO′B=120°，
小球從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的時(shí)間為  t₁=

1

3

T=

2πm

3Bq

，
又

m

q

=

3 E

g

，所以

.

OA

=

3 3 E2

gB2

．t₁=

2 3 πE

3gB

答：
（1）小球運(yùn)動(dòng)速率的大小為

2E

B

．
（2）在x＜0的區(qū)域所加電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為

3

E，方向豎直向上．
（3）小球從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)所用時(shí)間是

2 3 πE

3gB

．

點(diǎn)評(píng)：本題是帶電體在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的類(lèi)型，分析受力情況和運(yùn)動(dòng)情況是基礎(chǔ)，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，畫(huà)出軌跡，由幾何知識(shí)確定圓心角是求解運(yùn)動(dòng)時(shí)間的關(guān)鍵．