Question

【題目】如圖所示，光滑半圓形軌道處于豎直平面內(nèi)，半圓形軌道與光滑的水平地面相切于半圓的端點(diǎn)A.一質(zhì)量為m的小球在水平地面上C點(diǎn)受水平向左的恒力F由靜止開始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)撤去恒力F，小球沿豎直半圓形軌道運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)B點(diǎn)，最后又落在水平地面上的D點(diǎn)(圖中未畫出)．已知A、C間的距離為L，重力加速度為g.

（1）若軌道半徑為R，求小球到達(dá)半圓形軌道B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力FN；

（2）為使小球能運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)B，求軌道半徑的最大值Rm；

（3）軌道半徑R多大時(shí)，小球在水平地面上的落點(diǎn)D到A點(diǎn)距離最大？最大距離xm是多少？

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）；

【解析】試題分析：先由動(dòng)能定理求出小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大小，再由牛頓第二定律求出軌道對(duì)小球的彈力，即可由牛頓第三定律得到小球?qū)�軌道的壓力．�?dāng)小球?qū)�軌道的壓力恰好為零時(shí)，求出軌道半徑的最大值Rm；小球離開B點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)高度求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再根據(jù)初速度和時(shí)間求出平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移表達(dá)式，與第1題中小球經(jīng)過B點(diǎn)的速度聯(lián)立，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解．

（1）設(shè)小球到達(dá)圓軌道B點(diǎn)時(shí)速度為v，從C到B，由動(dòng)能定理有

解得：

據(jù)牛頓第二定律有： ，解得

根據(jù)牛頓第三定律可知，小球到達(dá)圓軌道B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為： ，方向豎直向上．

（2）軌道半徑越大，小球到達(dá)最高點(diǎn)的速度越小，當(dāng)小球恰好到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)小球的作用力為零，則小球?qū)�軌道的壓力也為零，此時(shí)軌道半徑最大，則令，解得軌道半徑的最大值
（3）設(shè)小球平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，在豎直方向上有： ，得

水平位移為

當(dāng)時(shí)，水平位移x最大，得
D到A最大距離為：