Question

資料：理論分析表明，逃逸速度是環(huán)繞速度的

2

倍，即v′=

2GM R

，由此可知，天體的質(zhì)量M越大，半徑R越小，逃逸速度也就越大，也就是說，其表面的物體就越不容易脫離它的束縛，有些恒星，在它一生的最后階段，強(qiáng)大的引力把其中的物質(zhì)緊緊的壓在一起，密度極大，每立方米的質(zhì)量可達(dá)數(shù)千噸，它們的質(zhì)量非常大，半徑又非常小，其逃逸速度非常大．于是，我們自然要想，會不會有這樣的天體，它的質(zhì)量更大，半徑更小，逃逸速度更大，以3.00×10⁸m/s的速度傳播的光都不能逃逸？如果宇宙中真的存在這樣的天體，即使它確實(shí)在發(fā)光，光也不能進(jìn)入太空，我們根本看不到它，這種天體稱為黑洞．1970年，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)了第一個(gè)很可能是黑洞的目標(biāo)．已知，G=6.67×10-11N?m/kg 2，C=3.00×10⁸m/s，求：
（1）逃逸速度大于真空中光速的天體叫黑洞，設(shè)某黑洞的質(zhì)量等于太陽的質(zhì)量M=1.98×10³⁰kg，求它的可能最大半徑（此小題結(jié)果用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示，小數(shù)點(diǎn)后保留2位，不得使用計(jì)算器）
（2）在目前天文觀測范圍內(nèi)，物質(zhì)的平均密度為ρ，如果認(rèn)為我們宇宙是這樣一個(gè)均勻大球體，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度C，因此任何物體都不能脫離宇宙，問宇宙的半徑至少多大？（球的體積計(jì)算方程V=

4

3

πR3，此小題結(jié)果用題中所給字母表示）

Answer 1

分析：（1）任何物體（包括光子）都不能脫離黑洞的束縛，那么黑洞表面脫離的速度應(yīng)大于光速，根據(jù)c≤

2GM R

即可求解；
（2）根據(jù)質(zhì)量與密度的關(guān)系先求出質(zhì)量，根據(jù)（1）的分析即可求解．

解答：解：（1）由題目所提供的信息可知，任何天體均存在其所對應(yīng)的逃逸速度v₂=

2GM R

，
其中M、R為天體的質(zhì)量和半徑．
對于黑洞模型來說，其逃逸速度等于真空中的光速，
即v₂=c，
所以?R=

2GM

c2

=

2×6.67×10-11×1.98×1030

(3×108)2

m=2.93×10³ m．
故最大半徑為2.93×10³ m．
（2）M=ρ?

4

3

πR³，其中R為宇宙的半徑，ρ為宇宙的密度，
則宇宙所對應(yīng)的逃逸速度為v₂=

2GM R

，
由于宇宙密度使得其逃逸速度大于光速c，
即v₂=c，
則R=

3c2 8Gπρ

答：（1）它的可能最大半徑為2.93×10³m．
（2）宇宙的半徑至少應(yīng)為

3c2 8Gπρ

．

點(diǎn)評：本題考查了萬有引力定律定律及圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式的直接應(yīng)用，要注意任何物體（包括光子）都不能脫離黑洞的束縛，那么黑洞表面脫離的速度應(yīng)大于光速．