Question

（25分）一個(gè)用絕緣材料制成的扁平薄圓環(huán)，其內(nèi)、外半徑分別為a₁、a₂，厚度可以忽略．兩個(gè)表面都帶有電荷，電荷面密度隨離開環(huán)心距離r變化的規(guī)律均為，為已知常量．薄圓環(huán)繞通過(guò)環(huán)心垂直環(huán)面的軸以大小不變的角加速度減速轉(zhuǎn)動(dòng)，t = 0時(shí)刻的角速度為．將一半徑為a₀ (a₀<<a₁)、電阻為R并與薄圓環(huán)共面的導(dǎo)線圓環(huán)與薄圓環(huán)同心放置．

試求在薄圓環(huán)減速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中導(dǎo)線圓環(huán)中的張力F與時(shí)間t的關(guān)系．

提示：半徑為r、通有電流I的圓線圈（環(huán)形電流），在圓心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為（k為已知常量）

Answer 1

用半徑分別為r₁（>a₁），r₂，…，r_i，…，r_n–1（<a₂）的n-1個(gè)同心圓把塑料薄圓環(huán)分割成n個(gè)細(xì)圓環(huán)．第i個(gè)細(xì)圓環(huán)的寬度為，其環(huán)帶面積

式中已略去高階小量．，該細(xì)圓環(huán)帶上、下表面所帶電荷量之和為

設(shè)時(shí)刻t，細(xì)圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω ，

單位時(shí)間內(nèi)，通過(guò)它的“橫截面”的電荷量，即為電流

               

由環(huán)形電流產(chǎn)生磁場(chǎng)的規(guī)律，該細(xì)圓環(huán)的電流在環(huán)心產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

                              (1)

式中是一個(gè)微小量，注意到，有                

                         (2)

將各細(xì)圓環(huán)產(chǎn)生的磁場(chǎng)疊加，由（1）、（2）式得出環(huán)心O點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度：

         (3)        

由于a₀<<a₁，可以認(rèn)為在導(dǎo)線圓環(huán)所在小區(qū)域的磁場(chǎng)是勻強(qiáng)磁場(chǎng)，可由O點(diǎn)的場(chǎng)表示．磁場(chǎng)對(duì)導(dǎo)線環(huán)的磁通量

       (4)

由于是變化的，所以上述磁通量是隨時(shí)間變化的，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小為

   (5)

由全電路歐姆定律可知，導(dǎo)線環(huán)內(nèi)感應(yīng)電流的大小為

                            (6)

設(shè)題圖中薄圓環(huán)帶正電作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，穿過(guò)導(dǎo)線圓環(huán)的磁場(chǎng)方向垂直紙面向外，由于薄圓環(huán)環(huán)作減角速轉(zhuǎn)動(dòng)，穿過(guò)導(dǎo)線圓環(huán)的磁場(chǎng)逐漸減小，根據(jù)楞次定律，導(dǎo)線圓環(huán)中的感應(yīng)電流亦為逆時(shí)針?lè)较颍瑢?dǎo)線圓環(huán)各元段Δl所受的安培力都沿環(huán)半徑向外．現(xiàn)取對(duì)于y軸兩對(duì)稱點(diǎn)U、V，對(duì)應(yīng)的二段電流元所受的安培力的大小為

                             (7)

方向如圖所示，它沿x及y方向分量分別

                    (8)

                    (9)

根據(jù)對(duì)稱性，作用于沿半個(gè)導(dǎo)線圓環(huán)QMN上的各電流元的安培力的x分量之和相互抵消，即

                   (10)

（式中，當(dāng)時(shí)，是正的，當(dāng)時(shí)，是負(fù)的，故），

而作用于沿半個(gè)導(dǎo)線圓環(huán)QMN上的各電流元的安培力的y分量之和為

                 (11) 

（式中，由于θ 在0~π之間都是正的，故），

即半個(gè)導(dǎo)線圓環(huán)上受的總安培力的大小為，方向沿y正方向，由于半個(gè)圓環(huán)處于平衡狀態(tài)，所以在導(dǎo)線截面Q、N處所受（來(lái)自另外半個(gè)圓環(huán)）的拉力（即張力）F應(yīng)滿足．由（3）、（6）兩式得 

    (12)

由（12）式可見，張力F隨時(shí)間t線性減�。�