Question

（2012?廣州一模）如圖所示，有小孔O和O′的兩金屬板正對(duì)并水平放置，分別與平行金屬導(dǎo)軌連接，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ區(qū)域有垂直導(dǎo)軌所在平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．金屬桿ab與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，并一直向右勻速運(yùn)動(dòng)．某時(shí)刻ab進(jìn)入Ⅰ區(qū)域，同時(shí)一帶正電小球從O孔豎直射入兩板間．a(chǎn)b在Ⅰ區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球勻速下落；ab從Ⅲ區(qū)域右邊離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)，小球恰好從O′孔離開(kāi)．已知板間距為3d，導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等、寬度均為d．帶電小球質(zhì)量為m，電荷量為q，ab運(yùn)動(dòng)的速度為v₀，重力加速度為g．求：
（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小
（2）ab在Ⅱ區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球的加速度大小
（3）小球射入O孔時(shí)的速度v

Answer 1

分析：（1）帶電小球勻速下落，合力為零，電場(chǎng)力與重力平衡．a(chǎn)b在磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)，由?=BLv₀求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由E=

?

3d

求出板間場(chǎng)強(qiáng)．由平衡條件可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（2）ab在Ⅱ磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球所受的電場(chǎng)力向下，大小不變，由牛頓第二定律求解加速度．
（3）小球在板間先做勻速運(yùn)動(dòng)，再做勻減速運(yùn)動(dòng)，最后做勻速運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解小球射入O孔時(shí)的速度v．

解答：解：（1）ab在磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小為：
   ?=BLv₀…①
金屬板間產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小為：E=

?

3d

…②
ab在Ⅰ磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶電小球勻速下落，有
  mg=qE…③
聯(lián)立①②③得：B=

3mgd

qLv0

…④
（2）ab在Ⅱ磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)小球的加速度a，依題意，有
 qE+mg=ma…⑤
聯(lián)立③⑤得：a=2g…⑥
（3）依題意，ab分別在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球在電場(chǎng)中分別做勻速、勻加速和勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)發(fā)生的位移分別為S_Ⅰ、S_Ⅱ、S_Ⅲ；ab進(jìn)入Ⅲ磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，小球的運(yùn)動(dòng)速度為v_Ⅲ．則：
S_Ⅰ=v?

d

v0

…⑦
S_Ⅱ=v?

d

v0

+

1

2

?2g(

d

v0

)2…⑧
S_Ⅲ=v_Ⅲ

d

v0

…⑨
又v_Ⅲ=v+2g?

d

v0

 …⑩
又：S_Ⅰ+S_Ⅱ+S_Ⅲ=3d…（11）
聯(lián)立可得：v=v₀-

gd

v0

答：
（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小是

3mgd

qLv0

．
（2）ab在Ⅱ區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球的加速度大小是2g．
（3）小球射入O孔時(shí)的速度v是v₀-

gd

v0

．

點(diǎn)評(píng)：本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)知識(shí)的綜合，綜合性較強(qiáng)．題中板間電壓等于導(dǎo)體棒的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)．