Question

一條寬度為L(zhǎng)的河流，水流速度為，已知船在靜水中的速度為，那么：(1)怎樣渡河時(shí)間最短？(2)若，怎樣渡河位移最小？(3)若，怎樣渡河船漂下的距離最短？

Answer 1

答案：略
解析：

(1)如圖甲所示，設(shè)船頭斜向上游與河岸成任意角q ，這時(shí)船速在垂直河岸方向的速度分量為，渡河所需的時(shí)間為 ． 可以看出，L、一定時(shí)，t隨sinq 增大而減��；當(dāng)q =90°時(shí)，sinq =1(最大)．所以船頭與河岸垂直時(shí)，渡河時(shí)間最短 ． (2)如圖乙所示，渡河的最小位移即河的寬度．為了使渡河位移等于L，必須使船的合速度v的方向與河岸垂直．這時(shí)船頭應(yīng)指向河的上游，并與河岸成一定的角度q ，船沿河流上游方向的分速度與水流速度等值反向 ， ， 即 ． 因?yàn)?/FONT>，所以只有在時(shí)，船才有可能垂直河岸橫渡． (3)如果水流速度大于船在靜水中的航行速度，則不論船的航向如何，總是被水沖向下游．怎樣才能使漂下的距離最短呢？如圖丙所示，設(shè)船頭與上游河岸成q 角，合速度與河岸成?角．可以看出：?角越大，船漂下的距離x越短．那么，在什么條件下?角最大呢？以的矢尖為圓心，大小為半徑畫(huà)圓，當(dāng)與圓相切時(shí)，?角最大．根據(jù)知，船頭與河岸的夾角應(yīng)為 ． 船漂下的最短距離為 ， 此時(shí)渡河的最短位移為 ， 此時(shí)渡河的時(shí)間 ． 　　小船渡河的實(shí)際運(yùn)動(dòng)可以看作是船在靜水中的運(yùn)動(dòng)和船隨水流的運(yùn)動(dòng)合成的．根據(jù)運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性和等時(shí)性，從題中已知河寬的條件分析，小船在垂直河岸方向的速度最大時(shí)，所用的時(shí)間短，因此可將小船渡河運(yùn)動(dòng)沿水流方向和垂直河岸方向分解，找出最大的垂直速度即可．小船渡河的最短位移是河寬，但此時(shí)船在靜水中的速度與水流速度必須滿(mǎn)足一定的條件，即船沿河流上游方向的分速度要與水流速度等值反向，這樣合速度才能垂直于河岸，最終到達(dá)正對(duì)岸．如果船沿河流上游方向的分速度不能與水流速度等值反向，則合速度只能偏向下游，最終船將無(wú)法到達(dá)正對(duì)岸，但這種情況下船漂向下游的距離存在最小值． 　　本題著重考查的是對(duì)運(yùn)動(dòng)合成和分解的應(yīng)用，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性，靈活選擇是由合運(yùn)動(dòng)求時(shí)間，還是由某一分運(yùn)動(dòng)求時(shí)間，正確的分解運(yùn)動(dòng)是解答本題的關(guān)鍵．