Question

如圖甲所示，間距為L(zhǎng)、足夠長(zhǎng)的固定光滑平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ 與水平面成θ角，左端M、P之間連接有電流傳感器和阻值為R 的定值電阻．導(dǎo)軌上垂直停放一質(zhì)量為m、電阻為r的金屬桿ab，且與導(dǎo)軌接觸良好，整個(gè)裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直導(dǎo)軌平面向下、大小為B 的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．在t=0時(shí)刻，用一沿MN方向的力斜向上拉金屬桿ab，使之從磁場(chǎng)的左邊界由靜止開(kāi)始斜向上做直線運(yùn)動(dòng)，電流傳感器將通過(guò)R 的電流i即時(shí)采集并輸入電腦，可獲得電流i隨時(shí)間t變化的關(guān)系圖線，電流傳感器和導(dǎo)軌的電阻及空氣阻力均忽略不計(jì)，重力加速度大小為g．
（1）若電流i 隨時(shí)間t 變化的關(guān)系如圖乙所示，求t時(shí)刻桿ab 的速度υ大�。�
（2）在（1）問(wèn)的情況下，請(qǐng)判斷桿ab的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，并求t 時(shí)刻斜向上拉力的功率P；
（3）若電流i隨時(shí)間t 變化規(guī)律為i=I_msin

2π

T

t，則在0～1/2T時(shí)間內(nèi)斜向上拉力對(duì)桿ab做的功W．

Answer 1

分析：（1）由乙圖看出，i與t成正比，由數(shù)學(xué)知識(shí)可寫(xiě)出i與t的關(guān)系式，由e=BLv和閉合電路歐姆定律求出t時(shí)刻桿ab的速度v；
（2）根據(jù)速度-時(shí)間關(guān)系式，分析桿ab的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，由速度公式求出桿的加速度大�。畻U向上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，由牛頓第二定律列式拉力的功率P的大�。�
（3）由位移為 x=-Acos

2π

T

，對(duì)位移求導(dǎo)數(shù)得到速度的表達(dá)式，分析得出桿ab做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，求電流的有效值，根據(jù)焦耳定律求解整個(gè)回路產(chǎn)生的熱量，再根據(jù)功能關(guān)系和動(dòng)能定理求解拉力對(duì)桿ab做的功W．

解答：解：（1）由乙圖可知，t=t₁時(shí)刻電路中的感應(yīng)電流為I₁，則t時(shí)刻，電流為：i=

I1

t1

t…①
桿ab切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：e=BLv…②
根據(jù)閉合電路歐姆定律有：e=i（R+r）…③
由①②③式解得：v=

I1(R+r)

BLt1

t…④
（2）由于

I1(R+r)

BLt1

是常量，所以桿ab做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，其加速度大小為：a=

v

t

=

I1(R+r)

BLt1

…⑤
設(shè)t時(shí)刻拉力大小為F，根據(jù)牛頓第二定律有：F-BiL-mgsinθ=ma…⑥
又 P=Fv…⑦
得：P=

I 2 1 (R+r)

t 2 1

t2+[gsinθ+

I1(R+r)

BLt1

]

mI1(R+r)

BLt1

t…⑧
（3）設(shè)位移x=-Acos

2π

T

t，由導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，有：v=A?

2π

T

sin

2π

T

t…⑨
由BLv=i（R+r）及i=I_msin

2π

T

t得：v=

Im(R+r)

BL

sin

2π

T

t…⑩
可見(jiàn)，桿ab做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，所以振幅為：A=

Im(R+r)T

2πBL

…（11）
在0～

1

2

T時(shí)間內(nèi)，整個(gè)回路產(chǎn)生的焦耳熱為：
Q=（

Im

2

）²（R+r）?

1

2

T…（12）
安陪力對(duì)桿ab做的功為：W₂=-Q…（13）
根據(jù)動(dòng)能定理有：W+W₁+W₂=

1

2

mv2-0…（14）
聯(lián)立以上四式得：W=

mgIm(R+r)Tsinθ

πBL

+

1

4

I

2 m

(R+r)T…（15）
答：（1）若電流i 隨時(shí)間t 變化的關(guān)系如圖乙所示，t時(shí)刻桿ab 的速度υ大小為

I1(R+r)

BLt1

t；
（2）在（1）問(wèn)的情況下，桿ab做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，t時(shí)刻斜向上拉力的功率P為

I 2 1 (R+r)

t 2 1

t2+[gsinθ+

I1(R+r)

BLt1

]

mI1(R+r)

BLt1

t；
（3）若電流i隨時(shí)間t 變化規(guī)律為i=I_msin

2π

T

t，則在0～1/2T時(shí)間內(nèi)斜向上拉力對(duì)桿ab做的功W為

mgIm(R+r)Tsinθ

πBL

+

1

4

I

2 m

(R+r)T．

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵首先要運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)寫(xiě)出電流與時(shí)間的關(guān)系，還考查了牛頓運(yùn)動(dòng)定律、閉合電路毆姆定律，安培力公式、感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式．