Question

（2012?資陽三模）如圖所示，直角坐標系的Y軸左方為垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度的大小為B．垂直x軸豎直放置一個足夠大接收屏PO，它離原點距離為Og=L/2；直角坐標系的第一象限和第四象限的abc0，Ocdf均是邊長為L的正方形，其內(nèi)以a、f為圓心各有一垂直紙面方向的半徑為乙的1/4圓形勻強磁場區(qū)域，磁感應強度的大小均為B．bd為一線狀發(fā)射裝置，射出一束質(zhì)量為m、電荷量為s的電子，以相同的初速度沿紙面垂直于bd邊射入兩個正方形區(qū)域，電子從bd邊上的任意點入射，都只能從原點O射出，進入Y軸左方磁場．不考慮電子之間的相互作用，不計重力．求：
（I）第一象限和第四象限中勻強磁場區(qū)域的磁感應強度的方向和電子初速度v₀的大��；
（2）電子打到接收屏PQ上的范圍；
（3）打在接收屏上的電子在磁場中運動的最長時間t．

Answer 1

分析：（1）由題意，電子在第一、四象限內(nèi)都能通過原點O，則知電子的偏轉(zhuǎn)方向，根據(jù)左手定則判斷出磁場的方向．電子從b點射入的電子從O點射出時，畫出軌跡，由幾何知識得到軌跡半徑，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，即可由牛頓第二定律求出初速度v₀的大小．
（2）從O點沿-y方向進入磁場的電子打在屏上最低點，畫出軌跡，由幾何知識求出打在屏上最低點到到g的距離．當從O點沿某方向進入第二象限的電子其圓軌跡在恰與圓相切，該電子打在屏上最高位置，再畫出軌跡，即可由幾何關(guān)系求出打在屏上最高點到到g的距離，可得到電子打到接收屏PQ上的范圍．
（3）根據(jù)軌跡對應的圓心角越大，在磁場中運動時間越長可知，在所有達到屏上的電子中，從b點射入的電子在磁場中運動時間最長，分別求出該電子在第一象限和第四象限的運動題意，即可求得最長的時間．

解答：解：（1）根據(jù)電子在第一、四象限內(nèi)的偏轉(zhuǎn)分析和左手定則可知：
第一象限的磁場方向為垂直紙面向外…①
第四象限的磁場方向為垂直紙面向內(nèi)…②
電子從b點射入的電子從O點射出，軌跡如圖所示，則：
由幾何關(guān)系得其圓周運動的半徑：
R=L…③
由牛頓運動定律有：ev0B=m

v 2 0

R

…④
聯(lián)解③④得：v0=

eBL

m

…⑤
（2）設(shè)從O點沿-y方向進入磁場的電子打在屏上最低點h，圓心為O₁，由圖中幾何關(guān)系可知：
 

.

O1g

=R-

L

2

…⑥
 

.

gh

=

R2-( . O1g )2

…⑦
設(shè)從O點沿某方向進入第二象限的電子其圓軌跡在i點恰與圓相切，該i點為電子打在屏上最高位置，如圖所示，圓心為O₂，連接O₂、i交y軸為j點．由圖中幾何關(guān)系可知：

.

O2j

=R-

L

2

…⑧
    

.

gi

=

R2-( . O2j )2

…⑨
聯(lián)解⑥⑦⑧⑨得：

.

gh

=

3

2

L…⑩
               

.

gi

=

3

2

L…（11）
接收屏被電子打中范圍：（-

3

2

L，

3

2

L）…（12）
（3）在所有達到屏上的電子中，從b點射入的電子在磁場中運動時間最長，它在磁場中做圓周運動有：
   ev0B=m(

2π

T

)2R…（13）
它在第一象限內(nèi)的運動時間：t1=

1

4

T…（14）
它在y軸左側(cè)區(qū)域運動時間為：t2=

1

6

T…（15）
電子在磁場中運動時間最長時間為：t=t1+t2=

5πm

6eB

…（16）
答：
（1）第一象限和第四象限中勻強磁場區(qū)域的磁感應強度的方向分別為垂直紙面向外和垂直紙面向內(nèi)，電子初速度v₀的大小為

eBL

m

；
（2）電子打到接收屏PQ上的范圍為（-

3

2

L，

3

2

L）；
（3）打在接收屏上的電子在磁場中運動的最長時間t是

5πm

6eB

．

點評：對于帶電粒子在磁場中運動問題，確定圓心、定出半徑，畫出軌跡是基本方法，根據(jù)幾何知識求得圓心角，可求得時間．