Question

（2012?長沙模擬）如圖所示，在正方形區(qū)域abcd內(nèi)充滿方向垂直紙面向里的、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場．在t=0時刻，一位于正方形區(qū)域中心O的粒子源在abcd平面內(nèi)向各個方向發(fā)射出大量帶正電的粒子，所有粒子的初速度大小均相同，粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑恰好等于正方形邊長，不計(jì)重力和粒子之間的相互作用力．已知平行于ad方向發(fā)射的粒子在t=t₀時刻剛好從磁場邊界cd上的某點(diǎn)離開磁場，求：
（1）粒子的比荷

q

m

；
（2）從粒子發(fā)射到全部粒子離開磁場所用的時間；
（3）假設(shè)粒子源發(fā)射的粒子在各個方向均勻分布，在t=t₀時刻仍在磁場中的粒子數(shù)與粒子源發(fā)射的總粒子數(shù)之比．

Answer 1

分析：（1）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，由題粒子的軌跡半徑等于正方形的邊長．畫出平行于ad方向發(fā)射的粒子運(yùn)動軌跡，由幾何關(guān)系求出軌跡的圓心角θ，根據(jù)t=t₀=

θ

2π

T，及周期公式T=

2πm

qB

求得

q

m

．
（2）由于粒子的初速度大小相等，所有粒子的軌跡半徑相等，運(yùn)動軌跡最長的粒子在磁場中運(yùn)動時間也最長，畫出在磁場中運(yùn)動時間最長的粒子的運(yùn)動軌跡，根據(jù)幾何知識確定出該粒子軌跡對應(yīng)的圓心角，即可求出最長時間，即為從粒子發(fā)射到全部粒子離開磁場所用的時間．
（3）由題意，同一時刻在磁場中的粒子到O點(diǎn)的距離應(yīng)相等，在t=t₀時刻仍在磁場中的粒子應(yīng)位于以O(shè)為圓心、OK為半徑的圓弧上，畫出軌跡，根據(jù)幾何知識求得在磁場中運(yùn)動的粒子區(qū)域的圓心角，即可求得仍在磁場中的粒子數(shù)與粒子源發(fā)射的總粒子數(shù)之比．

解答：解：（1）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，初速度平行于ad方向發(fā)射的粒子運(yùn)動軌跡如圖，其圓心為O₁．設(shè)正方形邊長為L，由幾何關(guān)系得：
sin∠OO₁k=

L 2

L

=

1

2

，得∠OO₁k=

π

6

則t=t₀=

π 6

2π

T=

T

12

，
又T=

2πm

qB

解得

q

m

=

π

6Bt0

（2）如圖在磁場中運(yùn)動時間最長的粒子的軌跡應(yīng)過正方向區(qū)域的頂點(diǎn)，設(shè)此粒子運(yùn)動軌跡對應(yīng)的圓心角為θ，則
  sin

θ

2

=

1 2 ? 2 2 L

L

=

2

4

在磁場中運(yùn)動的最長時間為t=

θ

2π

T=

12arcsin 2 4

π

t0
所以從粒子發(fā)射到全部粒子離開磁場所用的時間為

12arcsin 2 4

π

t0；
（3）依題意，同一時刻仍在磁場中的粒子到O點(diǎn)的距離相等，在t=t₀時刻仍在磁場中的粒子應(yīng)位于以O(shè)為圓心、Ok為半徑的圓弧上，畫出軌跡．

由幾何關(guān)系得
∠nOk=

π

12

所以在磁場中的粒子數(shù)與粒子源發(fā)射的總粒子數(shù)之比為

2π-8× π 12

2π

=

2

3

．
答：（1）粒子的比荷

q

m

為

π

6Bt0

； 
    （2）從粒子發(fā)射到全部粒子離開磁場所用的時間是

12arcsin 2 4

π

t0；
    （3）在t=t₀時刻仍在磁場中的粒子數(shù)與粒子源發(fā)射的總粒子數(shù)之比是

2

3

．

點(diǎn)評：本題的解題關(guān)鍵是畫出粒子的運(yùn)動軌跡，根據(jù)幾何知識確定隱含的極值條件和粒子運(yùn)動軌跡對應(yīng)的圓心角．