Question

如圖所示，粗細(xì)均勻的玻璃管，當(dāng)溫度為27℃時(shí)，封閉在管內(nèi)的空氣柱AB長(zhǎng)為30cm，BC長(zhǎng)為10cm，管內(nèi)水銀柱水平部分CD長(zhǎng)為18cm，豎直部分DE長(zhǎng)為15cm，外界大氣壓強(qiáng)為75cmHg，問(wèn)：要使水平管內(nèi)沒(méi)有水銀柱，溫度至少要升高到多少℃？
現(xiàn)有某同學(xué)的解法如下：
以ABC管中的氣體為研究對(duì)象，各狀態(tài)參量如下：p₁=（75-15）cmHg=60cmHgV₁=（30+10）cm?S=40cm?S（式中S為玻璃管的橫截面）T₁=300K．要使水平管內(nèi)沒(méi)有水銀柱，則氣體膨脹到D處，這時(shí)氣體的狀態(tài)參量如下：p₂=（75-15-18）cmHg=42cmHgV₂=（30+10+18）cm?S=58cm?S（式中S為玻璃管的橫截面）T₂=？
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzwl/web/STSource/20131029195715338646646/SYS201310291957153386466020_ST/0.png">，將上述各已知量代入，可求得T₂=304.5K，t₂=31.5℃
所以要使水平管內(nèi)沒(méi)有水銀柱，溫度至少要升高到31.5℃
已知上述計(jì)算無(wú)誤，請(qǐng)問(wèn)該同學(xué)求得的結(jié)果是否正確？倘若有錯(cuò)，請(qǐng)求出正確結(jié)果．

Answer 1

【答案】分析：該同學(xué)求得的結(jié)果有錯(cuò)．根據(jù)氣態(tài)方程=c，溫度T與pV成正比，當(dāng)溫度升高到T₂時(shí)，水平玻璃管右端還有xcm長(zhǎng)的水銀柱，根據(jù)氣態(tài)方程得到T₂與x的關(guān)系式，再運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求出T₂的最大值，畫(huà)出T-x圖象進(jìn)行分析．
解答：解：該同學(xué)求得的結(jié)果有錯(cuò)．
設(shè)當(dāng)溫度升高到T₂時(shí)，水平玻璃管右端還有xcm長(zhǎng)的水銀柱，則有
 p₂=75-（18+15-x）=（42+x）cmHg（2分），V₂=（30+28-x）S=（58-x）cm?S
由，得

可求得，當(dāng)x=8cm時(shí)，T₂有最大值312.5K（1分），即39.5℃．
畫(huà)出T₂隨x變化的大致圖象（如圖所示）：從圖象中不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)玻璃管中氣體的溫度逐漸升高時(shí)x從18cm起逐漸減小，當(dāng)氣體溫度升高到304.5K時(shí)x并不為零，只要?dú)怏w溫度不超過(guò)312.5K（39.5℃），水平管中總有水銀柱，所以要使水平管內(nèi)沒(méi)有水銀柱，溫度至少要升高到39.5℃．
答：該同學(xué)求得的結(jié)果有錯(cuò)，正確的結(jié)果是溫度至少要升高到39.5℃．
點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵要運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求T₂的最大值，作出T-x圖象，結(jié)合氣態(tài)方程進(jìn)行分析．