Question

如甲圖所示，一勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B；方向向里，其邊界是半徑為R的圓，AB為圓的直徑．在A點(diǎn)有一粒子源向圓平面內(nèi)（垂直于磁場(chǎng)）的各個(gè)方向發(fā)射質(zhì)量m、電量-q的粒子，粒子重力不計(jì)．
（1）有一帶電粒子以v₁=

2qBR

m

的速度從A點(diǎn)進(jìn)入圓形區(qū)域，恰好從B點(diǎn)射出．求此粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t．
（2）若磁場(chǎng)的邊界是絕緣彈性邊界（粒子與邊界碰撞后將以原速率反彈），某粒子從A點(diǎn)沿半徑方向射入磁場(chǎng)，與絕緣彈性邊界碰撞3次后又能恰好回到A點(diǎn)，則該粒子的速度v₂為多大？
（3）若在A點(diǎn)的粒子源向圓平面內(nèi)的各個(gè)方向發(fā)射速度均為v₃=

qBR

2m

的粒子．試在乙圖中用陰影圖畫出粒子在磁場(chǎng)中所能到達(dá)的區(qū)域，并求出該區(qū)域的面積．

Answer 1

分析：（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求出軌跡的半徑，由幾何知識(shí)求解軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角α，由t=

α

2π

T求解粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（2）粒子沿半徑方向射入磁場(chǎng)，經(jīng)過2次碰撞后回到A點(diǎn)，畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，由幾何知識(shí)求出軌跡的半徑，即可求出該粒子的速度．

解答：解：（1）由洛倫茲力提供向心力，qv1B=m

v 2 1

r1

 得r₁=2R
粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，則其對(duì)應(yīng)的圓心角α=

π

3

運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t=

α

2π

T=

πm

3qB

                         
（2）由題意畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖2，

由幾何關(guān)系得r₂=R                               
由qv2B=m

v 2 2

r2

得v2=

qBR

m

                       
（3）粒子的軌道半徑r3=

mv3

qB

=

R

2

                     
粒子到達(dá)的區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分（如圖所示）        

區(qū)域面積為S=

1

2

π

r

2 3

+2×

1

6

π(2r3)2-

3

r

2 3

=

11

24

πR2-

3

4

R2
答：（1）有一帶電粒子以v₁=

2qBR

m

的速度從A點(diǎn)進(jìn)入圓形區(qū)域，恰好從B點(diǎn)射出．此粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=

πm

3qB

．
（2）若磁場(chǎng)的邊界是絕緣彈性邊界（粒子與邊界碰撞后將以原速率反彈），某粒子從A點(diǎn)沿半徑方向射入磁場(chǎng)，與絕緣彈性邊界碰撞3次后又能恰好回到A點(diǎn)，則該粒子的速度為v2=

qBR

m

；
（3）若在A點(diǎn)的粒子源向圓平面內(nèi)的各個(gè)方向發(fā)射速度均為v₃=

qBR

2m

的粒子．在乙圖中用陰影圖畫出粒子在磁場(chǎng)中所能到達(dá)的區(qū)域如圖，該區(qū)域的面積S=

11

24

πR2-

3

4

R2．

點(diǎn)評(píng)：本題的解題關(guān)鍵是畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識(shí)求解軌跡的半徑．難度較大．