Question

（23分）有一帶活塞的氣缸，如圖所示。缸內(nèi)盛有一定質(zhì)量的氣體。缸內(nèi)還有一可隨軸轉(zhuǎn)動(dòng)的葉片，轉(zhuǎn)軸伸到氣缸外，外界可使軸和葉片一起轉(zhuǎn)動(dòng)，葉片和軸以及氣缸壁和活塞都是絕熱的，它們的熱容量都不計(jì)。軸穿過(guò)氣缸處不漏氣。

如果葉片和軸不轉(zhuǎn)動(dòng)，而令活塞緩慢移動(dòng)，則在這種過(guò)程中，由實(shí)驗(yàn)測(cè)得，氣體的壓強(qiáng)和體積遵從以下的過(guò)程方程式

其中,均為常量, ＞1（其值已知）�？梢杂缮鲜綄�(dǎo)出，在此過(guò)程中外界對(duì)氣體做的功為

式中和,分別表示末態(tài)和初態(tài)的體積。

如果保持活塞固定不動(dòng)，而使葉片以角速度做勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，已知在這種過(guò)程中，氣體的壓強(qiáng)的改變量和經(jīng)過(guò)的時(shí)間遵從以下的關(guān)系式

    

式中為氣體的體積，表示氣體對(duì)葉片阻力的力矩的大小。                  

上面并沒(méi)有說(shuō)氣體是理想氣體，現(xiàn)要求你不用理想氣體的狀態(tài)方程和理想氣體的內(nèi)能只與溫度有關(guān)的知識(shí)，求出圖中氣體原來(lái)所處的狀態(tài)與另一已知狀態(tài)之間的內(nèi)能之差（結(jié)果要用狀態(tài)、的壓強(qiáng)、和體積、及常量表示）

Answer 1

解析：

由        ，             （1）

可知，當(dāng)V增大時(shí)，p將隨之減�。ó�(dāng)V減小時(shí)，p將隨之增大），在圖上所對(duì)應(yīng)的曲線（過(guò)狀態(tài)A）大致如圖所示．在曲線上取體積與狀態(tài)B的體積相同的狀態(tài)C．

現(xiàn)在設(shè)想氣體從狀態(tài)A出發(fā)，保持葉片不動(dòng)，而令活塞緩慢地向右移動(dòng)，使氣體膨脹，由狀態(tài)A到達(dá)狀態(tài)C，在此過(guò)程中，外界對(duì)氣體做功

        （2）

用U_A、U_C分別表示氣體處于狀態(tài)A、C時(shí)的內(nèi)能，因?yàn)槭墙^熱過(guò)程，所以內(nèi)能的增量等于外界對(duì)氣體做的功，即

        （3）

再設(shè)想氣體處于狀態(tài)C時(shí)，保持其體積不變，即保持活塞不動(dòng)，令葉片以角速度w 做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，這樣葉片就要克服氣體阻力而做功，因?yàn)楦妆诩盎钊�都是絕熱的，題設(shè)缸內(nèi)其它物體熱容量不計(jì)，活塞又不動(dòng)（即活塞不做功），所以此功完全用來(lái)增加氣體的內(nèi)能．因?yàn)闅怏w體積不變，所以它的溫度和壓強(qiáng)都會(huì)升高，最后令它到達(dá)狀態(tài)B．在這過(guò)程中葉片轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間用Dt表示，則在氣體的狀態(tài)從C到B的過(guò)程中，葉片克服氣體阻力做功

        （4）

令U_B表示氣體處于狀態(tài)B時(shí)的內(nèi)能，由熱力學(xué)第一定律得

        （5）

由題知

        （6）

由（4）、（5）、（6）式得

        （7）

（7）式加（3）式，得

        （8）

利用和得

        （9）