Question

（2010?蘇州二模）如圖所示，間距為L的平行金屬板AB、CD之間有相互垂直的勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場（圖中未畫出），電場強(qiáng)度為E₁，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁．帶異種電荷的兩離子a、b，負(fù)離子a質(zhì)量為m、帶電量為q，其比荷為正離子b比荷的9倍．它們在分別距離AB、CD板L/4處，以平行于金屬板方向的速度沿直線穿過ABCD區(qū)域進(jìn)入電場強(qiáng)度為E₂的勻強(qiáng)電場區(qū)，E₂與E₁平行．MNP為沿AB、CD中心線方向的光滑絕緣板，離子與板碰撞后反彈無能量損失（即反彈前后水平分速度保持不變，豎直分速度大小不變、方向相反），且電量保持不變，到達(dá)板的N點(diǎn)后反彈進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₂的勻強(qiáng)磁場區(qū)，不計兩離子間的相互作用力及重力．
（1）在圖中畫出AB、CD間勻強(qiáng)磁場B₁的方向，并寫出離子速度大小的表達(dá)式；
（2）MN的長度要滿足什么條件，兩離子能恰好到達(dá)N點(diǎn)？
（3）若a離子的比荷q/m=10⁸C/kg，E_l=10³V/m，B_l=0.1T，E₂=3×10³V，L=2×10^-3m，且板NP足夠長．則兩離子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場B₂后，沿板NP方向上平均速度之比為多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)洛倫茲力等于電場力，即可求解；
（2）根據(jù)離子做類平拋運(yùn)動，由位移與時間的關(guān)系式，即可求解；
（3）根據(jù)運(yùn)動的速度分解，結(jié)合三角函數(shù)關(guān)系，從而求得各自夾角，再由半徑與周期公式，進(jìn)而即可求解．

解答：解：（1）要使兩離子沿直線通過AB、CD板間所加磁場B1方向垂直于紙面向里，如圖所示；
由 qB₁v₀=qE₁
解得離子速度大小為v0=

E1

B1

（2）兩離子進(jìn)入勻強(qiáng)電場E₂中作類平拋運(yùn)動，設(shè)a離子第一次絕緣板碰撞的時間為t_a，所以

L

4

=

qaE2

2ma

t

2 a

同理

L

4

=

qbE2

2mb

t

2 b

=

qaE2

2?9ma

t

2 b

解得t_b=3t_a
設(shè)MN間距為s，要a離子能到達(dá)N點(diǎn)，有
v₀（2n_a+1）t_a=s（n_a為正整數(shù)）
同理，要使b離子也到達(dá)N點(diǎn)，有
v₀（2n_b+1）t_b=s（n_b也為正整數(shù)）
解得s=

3(2nb+1)E1

B1

mL 2qE2

（n_b=0、1、2、3、…）
（3）兩離子進(jìn)入磁場后a離子垂直于板的速度
vay=

2qE2L m?4

=

3

×104m/s
方向tanθ=

vay

v0

=

3

 解得θ=60°
同理解得vby=

2qE2L 9m?4

=

3

3

×104m/s
 方向tana=

vby

v0

=

3

3

 解得a=30°
兩離子在B₂磁場中運(yùn)動半徑，R a=

mva

qB2

=

m v0 cos60°

qB2

Rb=

9m v0 cos30°

qB2

兩離子在B₂磁場中運(yùn)動周期T_a=

2πm

qB2

  與T_b=

9?2πm

qB2

兩離子沿EFG板移動的平均速度分別為vax=

2Racos30°

Ta 3

； vbx=

Rb

Tb 6

=

6Rb

Tb

則兩速度之比為，

vax

vbx

=

RaTb

RbTa

cos30°=

3

2

答：（1）在圖中畫出AB、CD間勻強(qiáng)磁場B₁的方向如上圖所示，并寫出離子速度大小的表達(dá)式為v0=

E1

B1

；
（2）MN的長度要滿足s=

3(2nb+1)E1

B1

mL 2qE2

（n_b=0、1、2、3、…），兩離子能恰好到達(dá)N點(diǎn)；
（3）若a離子的比荷q/m=10⁸C/kg，E_l=10³V/m，B_l=0.1T，E₂=3×10³V，L=2×10^-3m，且板NP足夠長．則兩離子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場B₂后，沿板NP方向上平均速度之比為

3

2

．

點(diǎn)評：考查受力平衡的條件與平衡方程，理解平拋運(yùn)動的處理方法，掌握運(yùn)動的合成與分解的思路，注意數(shù)學(xué)知識在本題巧妙運(yùn)用．