Question

如圖所示，ABC為一細(xì)圓管構(gòu)成的

3

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圓軌道，將其固定在豎直平面內(nèi)，軌道半徑為R（比細(xì)圓管的半徑大得多），OA水平，OC豎直，最低點(diǎn)為B，最高點(diǎn)為C，細(xì)圓管內(nèi)壁光滑．在A點(diǎn)正上方某位置有一質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）由靜止開始下落，剛好進(jìn)入細(xì)圓管內(nèi)運(yùn)動(dòng)．已知細(xì)圓管的內(nèi)徑稍大于小球的直徑，不計(jì)空氣阻力．
（1）若小球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)恰與管壁沒(méi)有相互作用，求小球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)的速度大��；
（2）若小球剛好能到達(dá)軌道的最高點(diǎn)C，求小球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)B時(shí)的速度大小和軌道對(duì)小球的作用力大小；
（3）若小球從C點(diǎn)水平飛出后恰好能落回到A點(diǎn)，求小球剛開始下落時(shí)距離A點(diǎn)的高度．

Answer 1

分析：小球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)恰與管壁沒(méi)有相互作用，重力充當(dāng)向心力，可求解；
小球剛好能到達(dá)軌道的最高點(diǎn)C，則小球通過(guò)C點(diǎn)的速度為零，由動(dòng)能定理和牛頓第二定律聯(lián)立列式可求解；
小球從C點(diǎn)水平飛出，做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律和機(jī)械能守恒列式可求解．

解答：解：（1）設(shè)通過(guò)C點(diǎn)時(shí)小球速度為v_c，
小球與管壁沒(méi)有相互作用，則重力充當(dāng)向心力，即：mg=

m v 2 c

R

解得：v_c=

gR

（2）小球恰好通過(guò)C點(diǎn)，故小球通過(guò)C點(diǎn)的速度為零，
對(duì)小球由B到C的過(guò)程根據(jù)動(dòng)能定理，有：0-

1

2

m

v

2 B

=mg2R   ①
又由小球經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律：FN-mg=

m v 2 B

R

      ②
①②聯(lián)立可得：v_B=2

Rg

，F(xiàn)_N=5mg
（3）小球從C點(diǎn)飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，
豎直方向：R=

1

2

gt2
水平方向：R=v_c′t
解得：v_c′=

gR 2

由初末機(jī)械能守恒可得：mg(h-R)=

1

2

m

v′

2 c

解得：h=

5

4

R
答：（1）若小球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)恰與管壁沒(méi)有相互作用，小球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)的速度大小為

gR

；
（2）若小球剛好能到達(dá)軌道的最高點(diǎn)C，小球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)B時(shí)的速度大小為2

Rg

，軌道對(duì)小球的作用力大小為5mg；
（3）若小球從C點(diǎn)水平飛出后恰好能落回到A點(diǎn)，小球剛開始下落時(shí)距離A點(diǎn)的高度為

5

4

R．

點(diǎn)評(píng)：本題為動(dòng)能定理與圓周運(yùn)動(dòng)的結(jié)合的綜合題，解決本題的關(guān)鍵掌握動(dòng)能定理，以及知道做圓周運(yùn)動(dòng)沿半徑方向的合力提供向心力．