Question

如圖所示為研究電子槍中電子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化模型示意圖．在Oxy平面的ABCD區(qū)域內(nèi)，存在兩個(gè)大小均為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)I和II，兩電場(chǎng)的邊界均是邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形（不計(jì)粒子所受重力）．
（1）在該區(qū)域AB邊的中點(diǎn)處由靜止釋放電子，求電子離開(kāi)ABCD區(qū)域的位置；
（2）在電場(chǎng)I區(qū)域內(nèi)適當(dāng)位置由靜止釋放電子，電子恰能從ABCD區(qū)域左下角D處離開(kāi)，求所有釋放點(diǎn)的位置；
（3）若將左側(cè)電場(chǎng)II整體水平向右移動(dòng)L/4，仍使電子從ABCD區(qū)域左下角D處離開(kāi)（D不隨電場(chǎng)移動(dòng)），在電場(chǎng)I區(qū)域內(nèi)由靜止釋放電子的所有位置．

Answer 1

分析：（1）、此問(wèn)分為兩個(gè)過(guò)程，一是在電場(chǎng)Ⅰ區(qū)域的加速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用能量的關(guān)系可求出加速后的速度；二是在電場(chǎng)Ⅱ區(qū)域內(nèi)的偏轉(zhuǎn)，運(yùn)用類(lèi)平拋的知識(shí)可求出偏轉(zhuǎn)距離，從而得到電子離開(kāi)ABCD區(qū)域的位置．
（2）、首先設(shè)出釋放點(diǎn)的坐標(biāo)，在運(yùn)用在電場(chǎng)I中的加速和在電場(chǎng)II中的類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，計(jì)算出表示xy的乘積的方程，滿(mǎn)足此式的點(diǎn)即為符合要求的點(diǎn)．
（3）、該問(wèn)分為三個(gè)階段，一是在電場(chǎng)I中的直線(xiàn)加速運(yùn)動(dòng)，二是在電場(chǎng)II中的類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，三是從電場(chǎng)II射出后的勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，結(jié)合第二問(wèn)的解題思路，可求出結(jié)果．

解答：解：（1）設(shè)電子的質(zhì)量為m，電量為e，在電場(chǎng)I中釋放后將做出速度為零的勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，出區(qū)域I時(shí)的速度為v_o，接著進(jìn)入電場(chǎng)II做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，假設(shè)電子從CD邊射出，出射點(diǎn)縱坐標(biāo)為y，對(duì)電子的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理和勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)公式有：eEL=

1

2

mv²，
在電場(chǎng)Ⅱ區(qū)域內(nèi)的偏轉(zhuǎn)，L=vt，y1=

1

2

at2=

eE

2m

?

L2

v2

=

1

4

L，方向向下，
故：y=

L

2

-y1=

L

4

所以位置坐標(biāo)（-2L，

1

4

L）
（2）設(shè)釋放位置坐標(biāo)為（x，y），在電場(chǎng)I中電子被加速到v₁，然后進(jìn)入電場(chǎng)II做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，并從D點(diǎn)離開(kāi)，有：eEx=

1

2

mv²，
L=vt，y =

1

2

at2=

eE

2m

?

L2

v2

=

L2

4x

，所以滿(mǎn)足xy=

L2

4

方程的點(diǎn)即為釋放點(diǎn)的位置
（3）設(shè)釋放位置坐標(biāo)為（x，y），eEx=

1

2

mv²，在電場(chǎng)I中加速到v₂，進(jìn)入電場(chǎng)II后做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，在高度為y′處離開(kāi)電場(chǎng)II時(shí)的情景與（2）中類(lèi)似，然后電子做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)D點(diǎn)，則有：
L=vt₁，

L

4

=vt2，
y2=

1

2

a

t

2 1

=

eE

2m

?

L2

v2

=

L2

4x

，
y3=at1t2=

eE

m

?

L

v

?

L

4v

=

eEL2

4mv2

=

L2

8x

，
y=y2+y3=

L2

4x

+

L2

8x

=

3L2

8x

，
所以滿(mǎn)足y=

3L2

8x

方程的點(diǎn)即為釋放點(diǎn)的位置．
答：（1）在該區(qū)域AB邊的中點(diǎn)處由靜止釋放電子，電子從（-2L，

1

4

L）離開(kāi)ABCD區(qū)域．
（2）在電場(chǎng)I區(qū)域內(nèi)適當(dāng)位置由靜止釋放電子，電子恰能從ABCD區(qū)域左下角D處離開(kāi)，所有釋放點(diǎn)為滿(mǎn)足xy=

L2

4

的位置．
（3）若將左側(cè)電場(chǎng)II整體水平向右移動(dòng)在電場(chǎng)I區(qū)域內(nèi)由靜止釋放電子的所有位置，在電場(chǎng)I區(qū)域內(nèi)由靜止釋放電子的所有位置為y=

3L2

8x

．

點(diǎn)評(píng)：本題考核了帶電粒子在簡(jiǎn)化的電子槍模型中的運(yùn)動(dòng)情況，是一道拓展型試題，與常見(jiàn)題所不同的是，一般試題是已知電子的出發(fā)點(diǎn)，然后求電子在電場(chǎng)作用下運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的軌跡或離開(kāi)電場(chǎng)的出射點(diǎn)位置，而本題則是反其道而行之，是規(guī)定了電子的出射點(diǎn)，要反推出在何處發(fā)出電子才能滿(mǎn)足所述要求．從內(nèi)容看，該題涉及的是電子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，這部分知識(shí)學(xué)生相對(duì)比較熟悉，也是經(jīng)常訓(xùn)練的題型之一，只不過(guò)本題作了拓展．