Question

（15分）如圖所示，用長為L的細(xì)線一端系住質(zhì)量為m的小球，另一端固定在A點，AB是過A的豎直線，E為AB上的一點，且AE=0.5L，過E作水平線EF，在EF上可以釘鐵釘D，現(xiàn)將細(xì)線水平拉直，然后小球由靜止釋放。不計一切摩擦，不計線與釘子碰撞時的能量損失，求：

（1）若無鐵釘D，小球運動到最低點B時細(xì)線的拉力T_B=?
（2）若釘上鐵釘D且線拉力足夠大，使小球恰能繞釘子在豎直面內(nèi)做完整圓周運動，則釘子D 與點E 距離DE=？
（3）釘鐵釘D后，若線能承受的最大拉力是9mg，小球能繞釘子在豎直面內(nèi)做完整圓周運動，ED取值范圍是多少？

Answer 1

（1）3mg；（2）x₂≥l ；（3）l≤x≤l

解析試題分析：（1）這是一個圓周運動與機(jī)械能兩部分知識綜合應(yīng)用的典型問題．題中涉及兩個臨界條件：一是線承受的最大拉力不大于9mg；另一個是在圓周運動的最高點的瞬時速度必須不小于（r是做圓周運動的半徑）．設(shè)在D點繩剛好承受最大拉力，設(shè)DE=x₁，則：AD=
懸線碰到釘子后，繞釘做圓周運動的半徑為：r₁=l－AD= l－……①
取B點，E_P=0，，mgL=mv²，則T_B=3mg。
（2）設(shè)釘子在G點小球剛能繞釘做圓周運動到達(dá)圓的最高點，設(shè)EG=x₂，如圖，則：AG=
r₂=l－AG= l－   ⑥
在最高點：mg≤      ⑦
由機(jī)械能守恒定律得：mg (r₂)=mv₂²  ⑧
由④⑤⑥聯(lián)立得：x₂≥l               ⑨
（3）當(dāng)小球落到D點正下方時，繩受到的最大拉力為F，此時小球的速度v，由牛頓第二定律有：
F－mg=                        ②
結(jié)合F≤9mg可得：≤8mg…       ③
由機(jī)械能守恒定律得：mg (+r₁)=mv₁²
即：v²=2g(+r₁) …                ④
由①②③式聯(lián)立解得：x₁≤l…      ⑤
隨著x的減小，即釘子左移，繞釘子做圓周運動的半徑越來越大．轉(zhuǎn)至最高點的臨界速度也越來越大，但根據(jù)機(jī)械能守恒定律，半徑r越大，轉(zhuǎn)至最高點的瞬時速度越小，當(dāng)這個瞬時速度小于臨界速度時，小球就不能到達(dá)圓的最高點了．在水平線上EF上釘子的位置范圍是：l≤x≤l
考點：機(jī)械能守恒定律及牛頓定律的應(yīng)用。