Question

豎直放置的光滑圓環(huán)上套有一質(zhì)量為m的小球，小球在最高點時的速度v0=

1 2 gR

，其中R為圓環(huán)的半徑．下列說法中正確的是（　�。�

• A．小球經(jīng)過最低點時的速度等于

  3

  2

  2gR

• B．小球經(jīng)過任意一條直徑兩端時的動能之和都相等
• C．小球繞圓環(huán)運動一周的時間大于

  2πR

  v0

• D．小球在最低點時對圓環(huán)的壓力等于4.5mg

Answer 1

分析：（1）小球從最高點運動到最低點的過程中機械能守恒，設(shè)小球到達最低點時的速度大小為v，根據(jù)機械能守恒定律列式即可求解；
（2）根據(jù)機械能守恒定律判斷小球經(jīng)過任一直徑兩端位置時的動能之和是否是一定值．
（3）根據(jù)路程與時間的比值計算小球繞圓環(huán)一周的時間
（4）小球在最低點時，受到的合外力提供小球做圓周運動的向心力，設(shè)軌道對小球的支持力為N，根據(jù)牛頓第二定律和圓周運動公式即可求解；

解答：解：A、小球從最高點運動到最低點的過程中機械能守恒，設(shè)小球到達最低點時的速度大小為v，根據(jù)機械能守恒定律
mg?2R+

1

2

mv02=

1

2

mv2，解得：v=

3

2

2gR

，故A正確；
B、小球在運動的過程中機械能守恒，小球在最高點的機械能等于最低點的機械能，設(shè)最低點為零勢能平面有：E_k1+mg2R=E_k2=定量C，
則E_K1+E_K2+mg?2R=2C，在運動的過程中小球經(jīng)過某一位置重力勢能減小多少，則經(jīng)過關(guān)于圓心對稱的位置重力勢能就增加多少．所以小球經(jīng)過任一直徑兩端位置時的動能之和是一個恒定值．故B正確．
C、小球做的運動不是勻速圓周運動，在整個運動的過程中，最高點的速度最小，所以運動的時間：t＜

2πR

v0

．故C錯誤．
D、小球在最低點時，受到的合外力提供小球做圓周運動的向心力，設(shè)軌道對小球的支持力為N，根據(jù)牛頓第二定律和圓周運動公式
N-mg=m

v2

R

；代入數(shù)據(jù)解得：N=5.5mg                              
根據(jù)牛頓第三定律，小球?qū)�軌道的壓力：N′=N=5.5mg．  故D錯誤．
故選：AB．

點評：本題綜合運用了機械能守恒定律和牛頓第二定律，關(guān)鍵理清向心力的來源，運用牛頓第二定律進行求解．