Question

如圖所示，間距為d的帶電平行金屬板P和Q之間構(gòu)成加速電子的電場，Q板右側(cè)區(qū)域I和區(qū)域II內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場．區(qū)域I左邊界與金屬板平行，區(qū)域Ⅱ的左邊界與區(qū)域I的右邊界重合．已知區(qū)域I內(nèi)的磁場垂直于Oxy平面向外，區(qū)域II內(nèi)的磁場垂直于Oxy平面向里，且磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B，區(qū)域I和區(qū)域II沿x軸方向的寬度均為

3 mv0

2Be

．以區(qū)域I的左邊界為y軸，以電子進(jìn)入?yún)^(qū)域I時的入射點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立xOy平面直角坐標(biāo)系．一電子從P板逸出，經(jīng)過P、Q間電場加速后沿著x軸正向以速度v₀先后通過區(qū)域I和區(qū)域II，設(shè)電子電荷量為e，質(zhì)量為m，不計(jì)電子重力．
（1）求P、Q間電場強(qiáng)度的大小E；
（2）求電子從區(qū)域Ⅱ右邊界射出時，射出點(diǎn)的縱坐標(biāo)y；
（3）撤除區(qū)域I中的磁場而在其中加上沿x軸正向的勻強(qiáng)電場，使得該電子剛好不能從區(qū)域Ⅱ的右邊界飛出．求電子的區(qū)域II中運(yùn)動的速度v和在區(qū)域I中運(yùn)動的平均速度

.

v

．

Answer 1

分析：（1）電子在經(jīng)過P、Q間電場加速時，電場力做功eEd．已知初速度為零，末速度為v₀，即可知動能的變化量，根據(jù)動能定理求出P、Q間電場強(qiáng)度的大小E．
（2）畫出電子進(jìn)入磁場的運(yùn)動軌跡．電子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，由洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律可得到半徑，根據(jù)幾何知識求出電子在磁場Ⅰ沿y軸偏轉(zhuǎn)的距離y₀，由題意，磁場Ⅱ與磁場Ⅰ磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相同，方向相反，則知電子在兩磁場區(qū)域偏轉(zhuǎn)距離相同，即可求出射出點(diǎn)的縱坐標(biāo)y；
（3）沿x軸正向的勻強(qiáng)電場后，電子剛好不能從區(qū)域Ⅱ的右邊界飛出時，電子在磁場Ⅱ中做勻速圓周運(yùn)動的軌跡恰好與區(qū)域Ⅱ的右邊界相切，畫出電子的運(yùn)動軌跡，由幾何知識得到電子運(yùn)動的半徑，根據(jù)半徑公式r=

mv

eB

，即可求出速度v．
電子通過區(qū)域Ⅰ時做勻加速直線運(yùn)動，已知初速度v₀，末速度v，由運(yùn)動學(xué)公式可求得在區(qū)域I中運(yùn)動的平均速度

.

v

．

解答：解：（1）電子在P、Q間運(yùn)動過程，由動能定理得
  eEd=

1

2

m

v

2 0

得E=

m v 2 0

2ed

（2）如圖所示，畫出電子在磁場中運(yùn)動的軌跡．電子進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅰ做勻速圓周運(yùn)動，向上偏轉(zhuǎn)，洛倫茲力提供向心力，則有
   ev₀B=m

v 2 0

R

設(shè)電子在區(qū)域Ⅰ中沿y軸方向偏轉(zhuǎn)的距離為y₀．
由題意，區(qū)域Ⅰ的寬度為b=

3 mv0

2Be

，則由幾何知識得
  （R-y₀）²+b²=R²
解得，y₀=

mv0

2eB

因兩磁場的感應(yīng)強(qiáng)度大小相等、方向相反，則電子在兩個磁場中偏轉(zhuǎn)距離相同，所以電子從區(qū)域Ⅱ右邊界射出時，射出點(diǎn)的縱坐標(biāo)y=2y₀=2

mv0

2eB

．
（3）電子剛好不能從區(qū)域Ⅱ的右邊界飛出時，說明電子在磁場Ⅱ中做勻速圓周運(yùn)動的軌跡恰好與區(qū)域Ⅱ的右邊界相切，畫出電子的運(yùn)動軌跡如圖所示．
由幾何知識得到電子運(yùn)動的半徑r=b=

3 mv0

2Be

．
根據(jù)半徑公式r=

mv

eB

，即有
 

mv

eB

=

3 mv0

2Be

．
解得，v=

3

2

v0
電子通過區(qū)域Ⅰ時做勻加速直線運(yùn)動，則在此過程中運(yùn)動的平均速度

.

v

=

v0+v

2

=

(2+ 3 )v0

4

．
答：（1）P、Q間電場強(qiáng)度的大小E是

m v 2 0

2ed

；
（2）電子從區(qū)域Ⅱ右邊界射出時，射出點(diǎn)的縱坐標(biāo)y是2

mv0

2eB

；
（3）電子的區(qū)域II中運(yùn)動的速度v為

3

2

v0，在區(qū)域I中運(yùn)動的平均速度

.

v

是

(2+ 3 )v0

4

．

點(diǎn)評：本題的解題關(guān)鍵是畫出電子運(yùn)動的軌跡，同時要抓住電子在三個場區(qū)運(yùn)動時相等的量．