Question

如圖所示，帶正電的粒子以水平速度v₀從平行金屬板MN間中線OO′連續(xù)射入，MN板間接有如圖乙所示的隨時(shí)間變化的電壓u_MN，令電場(chǎng)只存在兩板間，緊鄰金屬板右側(cè)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，CD為分界線、EF為屏幕，已知金屬板間距、磁場(chǎng)寬度、極板長(zhǎng)均為0.2m，每個(gè)帶正電粒子速度v₀=10⁵m/s，比荷為q/m=10⁸C/kg，B=5×10^-3T，粒子重力不計(jì)，在每個(gè)粒子通過(guò)電場(chǎng)區(qū)域的極短時(shí)間內(nèi)，可認(rèn)為電場(chǎng)是恒定不變的，求：
（1）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)的最小半徑；
（2）帶電粒子射出電場(chǎng)的最大速度；
（3）帶電粒子打在屏幕EF上的范圍．

Answer 1

（1）t=0時(shí)刻射入電場(chǎng)的帶電粒子不被加速，進(jìn)入磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑最小，


粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)有qv₀B=m

v 20

r

r_min=

mv0

qB

=

105

5×10-3×108

m=0.2m
（2）因帶電粒子通過(guò)電場(chǎng)時(shí)間t=

l

v0

=2×10^-6s＜T，所以帶電粒子通過(guò)電場(chǎng)過(guò)程中可認(rèn)為電場(chǎng)恒定不變．
設(shè)兩板間電壓為U₁時(shí)，帶電粒子能從N板右邊緣飛出，
則 

d

2

=

1

2

U1q

dm

(

l

v0

)2
得  U₁=

md2 v 20

ql2

=100V
在電壓低于或等于100V時(shí)，帶電粒子才能從兩板間射出電場(chǎng)，故U₁=100V時(shí)，
帶電粒子射出電場(chǎng)速度最大，q

U1

2

1

2

m

v

2m

-

1

2

mv₀²
解得：v_m=

v 20 + qU1 m

=1.41×10⁵m/s
（3）t=0時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)中粒子，進(jìn)入磁場(chǎng)中圓軌跡半徑最小，打在熒光屏上最高點(diǎn)E，
O′E=r_min=0.2m
從N板右邊緣射出粒子，進(jìn)入磁場(chǎng)中圓軌跡半徑最大，
qv_mB=m

v 2m

rm

解得：r_m=

mvm

qB

=

2

5

m
因v_m=

2

v₀，故tanθ=

vy

v0

=1，θ=45°，
O₂P=2×

2

?

d

2

=0.2

2

m=r_max
所以從P點(diǎn)射出粒子軌跡圓心O₂正好在熒光屏上且O₂與M板在同一水平線上，0′O₂=

d

2

=0.1m，
O′F=r_m-O₂O′=

2

5

-0.1=0.18（m）
帶電粒子打在熒光屏AB上范圍為：EF=O′E+O′F=0.38m
答：（1）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)的最小半徑為0.2m；
（2）帶電粒子射出電場(chǎng)時(shí)的最大速度為1.41×10⁵m/s；
（3）帶電粒子打在屏幕EF上的范圍為離屏幕中心上0.2m，下0.18m，長(zhǎng)度為0.38m．