Question

圖為示波管的示意圖，豎直偏轉(zhuǎn)電極的極板長(zhǎng)l，兩板間距離d，極板右端與熒光屏距離L．由陰極發(fā)出的電子經(jīng)電壓U₀加速后，沿中心線(xiàn)進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電壓為U（U隨時(shí)間變化的圖象如圖19所示）的豎直偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)．若電子由陰極逸出時(shí)的初速度、電子所受重力及電子之間的相互作用力均可忽略不計(jì)，電子經(jīng)過(guò)偏轉(zhuǎn)極所用的時(shí)間與周期T相比可不計(jì)．已知電子的電荷量e，質(zhì)量m．
（1）推導(dǎo)出電子在離開(kāi)豎直偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的側(cè)移量與加速電壓U₀和偏轉(zhuǎn)電壓U的關(guān)系式；
（2）要使電子束能夠打在熒光屏上，求加在豎直偏轉(zhuǎn)電極上交變電壓的范圍；
（3）求電子打在熒光屏上距中心點(diǎn)O的最大距離．

Answer 1

分析：分析：（1）電子在加速電場(chǎng)中，電場(chǎng)力做正功eU₀，根據(jù)動(dòng)能定理求解加速后電子受到的大�。�電子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，豎直方向做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，代入運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式即可求得電子在離開(kāi)豎直偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的側(cè)移量與加速電壓U₀和偏轉(zhuǎn)電壓U的關(guān)系式；
（2）電子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，豎直方向做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，電子剛好飛出偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)，偏轉(zhuǎn)距離為

d

2

．由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解豎直偏轉(zhuǎn)電極上的電壓．
（3）每個(gè)電子通過(guò)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的過(guò)程中，電場(chǎng)可視為穩(wěn)定的勻強(qiáng)電場(chǎng)．當(dāng)極板間加最大電壓時(shí)，電子有最大偏轉(zhuǎn)量，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式電子通過(guò)偏轉(zhuǎn)電壓時(shí)最大偏轉(zhuǎn)距離．電子離開(kāi)電場(chǎng)后做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，水平方向的分速度等于v，電子離開(kāi)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)到達(dá)熒光屏的時(shí)間 t′=

L

vx

，電子離開(kāi)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)后在豎直方向的位移為y₂=v_y t′，打在熒光屏上的最大偏移量Y_m=y_m+y₂．

解答：解：（1）對(duì)于電子通過(guò)加速電場(chǎng)的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理有 eU₀=

1

2

mv²
解得v=

2eU0 m

偏轉(zhuǎn)電場(chǎng) 的場(chǎng)強(qiáng)：E=

U

d

電子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中的加速度：a=

qE

m

電子穿過(guò)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的時(shí)間：t=

L

v

電子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中 的偏轉(zhuǎn)量：y=

1

2

at2
聯(lián)立以上各式，解得：y=

UL2

4U0d

（2）設(shè)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)電壓為U₁時(shí)，電子剛好飛出偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，則此時(shí)電子沿電場(chǎng)方向的位移恰為 y=

1

2

d，
即

d

2

=

UL2

4U0d

解得U1=

2d2U0

L2

，
所以，為使電子束不打在偏轉(zhuǎn)電極上，加在偏轉(zhuǎn)電極上的電壓U應(yīng)滿(mǎn)足-

2d2U0

L2

＜U＜

2d2U0

L2

．
（3）每個(gè)電子通過(guò)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的過(guò)程中，電場(chǎng)可視為穩(wěn)定的勻強(qiáng)電場(chǎng)．
當(dāng)極板間加最大電壓時(shí)，電子剛好從極板的邊緣穿過(guò)電場(chǎng)，電子有最大偏轉(zhuǎn)量．
電子飛出偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)平行極板方向分速度v_x=v，
垂直極板方向的分速度v_y=a_yt=

eU1

md

t
電子離開(kāi)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)到達(dá)熒光屏的時(shí)間 t′=

L

v

電子離開(kāi)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)后在豎直方向的位移為y₂=v_y t′=

eU1L2

mdv2

電子打在熒光屏上的總偏移量Y_m=y_m+y₂
代入數(shù)據(jù)解得：電子打在熒光屏上的最大偏移量：Y_m=

d

L

(L+

L

2

)=

3

2

d．
答：（1）電子在離開(kāi)豎直偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的側(cè)移量與加速電壓U₀和偏轉(zhuǎn)電壓U的關(guān)系式y=

UL2

4U0d

；
（2）要使電子束能夠打在熒光屏上，求加在豎直偏轉(zhuǎn)電極上交變電壓的范圍-

2d2U0

L2

＜U＜

2d2U0

L2

；
（3）求電子打在熒光屏上距中心點(diǎn)O的最大距離為

3

2

d．

點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：本題中電子在加速電場(chǎng)中由動(dòng)能定理求加速獲得的速度，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法研究類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)．