Question

【題目】如圖所示為“過(guò)山車”模型。其中ab段位傾斜平直軌道，cdc '段位環(huán)形軌道，c和c'為最低點(diǎn)、d為最高點(diǎn)，半徑為R，bc段位水平軌道與傾斜軌道、環(huán)形軌道平滑連接。無(wú)限長(zhǎng)的水平軌道c'e與環(huán)形軌道相切于c'點(diǎn)。剛性小球A從傾斜軌道離水平面高度H處?kù)o止釋放，與另一靜置于水平軌道上的剛性小球B發(fā)生彈性正碰。已知B球質(zhì)量是A球的4倍，整個(gè)裝置處于豎直平面內(nèi)，忽略一切摩擦阻力。(重力加速度為g)

(1)要使A球能夠沿著軌道運(yùn)動(dòng)與B球碰撞，對(duì)釋放點(diǎn)高度有何要求?

(2)要使兩球在軌道上至少發(fā)生兩次碰撞，對(duì)釋放點(diǎn)高度H有何要求?

Answer 1

【答案】(1) (2) 或

【解析】

(1)要使小球能夠通過(guò)d點(diǎn)，則需要:

聯(lián)立以上兩式，解得

(2)設(shè)碰撞前A球速度為v，碰撞為彈性碰撞，則碰撞前后兩球機(jī)械能守恒、動(dòng)量守恒，有:

聯(lián)立以上兩式，解得

.

因|vA|> |vB|,故要求A球能夠從環(huán)形軌道再次返回即可追上B球發(fā)生第二次碰撞，則

情形一，A球回到環(huán)形軌道時(shí)上升最大高度不超過(guò)R,即可返回，有:

聯(lián)立式得

結(jié)合(1)中結(jié)論，得H取值范圍一

情形二，A球能再次通過(guò)環(huán)形軌道最高點(diǎn)，并回到斜面上之后再次返回、通過(guò)環(huán)形軌道，追上B球，有

聯(lián)立得H取值范圍二

故釋放點(diǎn)高度H的取值范圍為

或