Question

一足夠長(zhǎng)的矩形區(qū)域abcd內(nèi)充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，矩形區(qū)域的左邊界ad長(zhǎng)為L(zhǎng)，現(xiàn)從ad中點(diǎn)O垂直于磁場(chǎng)射入一速度方向與ad邊夾角為30°，大小為v₀的帶正電粒子，如圖所示，已知粒子電荷量為q,質(zhì)量為m（重力不計(jì)）：

（1）若要求粒子能從ab邊射出磁場(chǎng)，v₀應(yīng)滿足什么條件？

（2）若要求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，粒子應(yīng)從哪一條邊界處射出，出射點(diǎn)位于該邊界上何處？最長(zhǎng)時(shí)間是多少？

Answer 1

解：當(dāng)軌跡與cd邊相切時(shí)，是粒子能從ab邊射出磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)軌跡圓半徑最大的情況，設(shè)此半徑為R₁，如圖1所示分析可知∠OO′Q=60°，則有R₁cos60°+=R₁,R₁=L。當(dāng)軌跡圓與ab邊相切時(shí)，是粒子能從ab邊射出磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)軌跡圓半徑最小的情況，設(shè)此半徑為R₂，如圖2所示分析可知∠OO′Q=120°，則有

         

(圖1)                               (圖2)

R₂sin30°+R₂=,R₂=

故粒子從ab邊射出的條件為R₂＜R≤R₁,即＜R≤L。

根據(jù)qv₀B=得v₀=。所以＜v₀≤

（2）由T=，則t=

∴粒子在磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角越大，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)。從兩圖中可以看出，如果粒子從cd邊射出，則圓心角最大為60°，若粒子從ab邊射出，則圓心角最大為240°，粒子從ad邊射出，圓心角最大為360°－60°＝300°，由于磁場(chǎng)無(wú)右邊界，故粒子不可能從右側(cè)射出。

綜上所述，為使粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，粒子應(yīng)從ad邊射出，如圖2所示，設(shè)出射點(diǎn)到O的距離為x，從圖中可以看出，P點(diǎn)是離O距離最大的出射點(diǎn)。

因PO=R₂=故x≤，即出射點(diǎn)到O的距離不超過，t_max=。