Question

如圖所示，半徑R=0.80m的

1

4

光滑圓弧軌道固定在光滑水平面上，軌道上方A點(diǎn)有一質(zhì)為m=1.0kg的小物塊．小物塊由靜止開始下落后打在圓軌道上B點(diǎn)但未反彈，在瞬間碰撞過程中，小物塊沿半徑方向的分速度立刻減為零，而沿切線方向的分速度不變．此后，小物塊將沿圓弧軌道滑下．已知A、B兩點(diǎn)到圓心O的距離均為R，與水平方向夾角均為θ=30°，C點(diǎn)為圓弧軌道末端，緊靠C點(diǎn)有一質(zhì)量M=3.0kg的長(zhǎng)木板Q，木板上表面與圓弧軌道末端切線相平，小物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.30，取g=10m/s²．求：
（1）小物塊剛到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度v_B；
（2）小物塊沿圓弧軌道到達(dá)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力F_C的大�。�
（3）木板長(zhǎng)度L至少為多大時(shí)小物塊才不會(huì)滑出長(zhǎng)木板．

Answer 1

分析：（1）物體由A到B的過程中，做自由落體運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系可得出AB間的距離，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求得B點(diǎn)的速度；
（2）由速度的合成與分解可求B點(diǎn)切向分速度；由B到C由機(jī)械能守恒可求得C點(diǎn)的速度，再由牛頓第二定律可求得軌道對(duì)物體的支持力，由牛頓第三定律可求得物體對(duì)軌道的壓力；
（3）物體滑上木板后，物體與木板的動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒可求得木板的最小長(zhǎng)度．

解答：解：（1）由題意可知，ABO為等邊三角形，則AB間距離為R，小物塊從A到B做自由落體運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有：
v_B²=2gR…①
代入數(shù)據(jù)解得：v_B=4.0m/s；方向豎直向下 
（2）設(shè)小物塊沿軌道切線方向的分速度為v_B切，因OB連線與豎直方向的夾角為60°，故v_B切=v_Bsin60°…②
從B到C，只有重力做功，據(jù)機(jī)械能守恒定律有：
mgR（1-cos60°）+

1

2

mv_B²=

1

2

Mv_C²…③
在C點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律有：F_c′-mg=m

v 2 c

R

…④
代入數(shù)據(jù)解得：F_c′=35N
據(jù)牛頓第三定律可知小物塊可到達(dá)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力
F_C=35N   
（3）小物塊滑到長(zhǎng)木板上后，組成的系統(tǒng)在相互作用過程中總動(dòng)量守恒，減少的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，當(dāng)小物塊相對(duì)木板靜止于木板最右端時(shí)，對(duì)應(yīng)著物塊不滑出的木板最小長(zhǎng)度．根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律有：
mv_c=（m+M）v…⑤
μmgL+

1

2

mv_C²-

1

2

（m+M）v²…⑥
聯(lián)立⑤、⑥式得：L=

M v 2 c

2μg(M+m)

代入數(shù)據(jù)解得：L=2.5m  
答：（1）B的速度為4.0m/s；（2）小物塊沿圓弧軌道到達(dá)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力F_C的為35N；（3）木板長(zhǎng)度至少為2.5m．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的內(nèi)容較多，涉及到動(dòng)量、機(jī)械能、牛頓運(yùn)動(dòng)定律及自由落體等內(nèi)容，要求我們能準(zhǔn)確把握概念規(guī)律的使用條件，并能正確應(yīng)用物理規(guī)律列式求解．