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        1. 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn,已知對(duì)?n,m∈N+,當(dāng)n>m時(shí),總有
          Tn
          Tm
          =Tn-mq(n-m)m
          (q>0是常數(shù)).
          (1)求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
          (2)設(shè)正整數(shù)k,m,n(k<m<n)成等差數(shù)列,試比較Tn•Tk和(Tm2的大小,并說明理由;
          (3)探究:命題p:“對(duì)?n,m∈N+,當(dāng)n>m時(shí),總有
          Tn
          Tm
          =Tn-mq(n-m)m
          (q>0是常數(shù))”是命題t:“數(shù)列{an}是公比為q(q>0)的等比數(shù)列”的充要條件嗎?若是,請(qǐng)給出證明;若不是,請(qǐng)說明理由.
          分析:(1)設(shè)m=1,則有
          Tn
          T1
          =Tn-1qn-1
          ,從而可得an=a1qn-1,即可證得數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
          (2)當(dāng)q=1時(shí),Tn•Tk=a1n+k=a12m=Tm2;當(dāng)q≠1時(shí),an=a1qn-1,Tn=a1nq
          n(n-1)
          2
          ,從而可得Tn•Tk=a1nq
          n(n-1)
          2
          a1kq
          k(k-1)
          2
          =a1n+kq
          n(n-1)+k(k-1)
          2
          ,根據(jù)Tm2=a12mqm(m-1),n+k=2m,k<m<n,利用基本不等式,即可得到結(jié)論;
          (3)證明:由(1)知,充分性成立;
          必要性:利用q≠1時(shí),an=a1qn-1,Tn=a1nq
          n(n-1)
          2
          ,可證得
          Tn
          Tm
          =Tn-mq(n-m)m
          ,同理可證,當(dāng)q=1時(shí),也成立,故得證.
          解答:(1)證明:設(shè)m=1,則有
          Tn
          T1
          =Tn-1qn-1
          ,∴
          Tn
          Tn-1
          =a1qn-1

          an=a1qn-1
          ∴n≥2時(shí),
          an
          an-1
          =q

          ∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
          (2)解:當(dāng)q=1時(shí),an=a1,∴Tn=a1n,∴Tn•Tk=a1n+k=a12m=Tm2
          當(dāng)q≠1時(shí),an=a1qn-1,Tn=a1nq
          n(n-1)
          2

          ∴Tn•Tk=a1nq
          n(n-1)
          2
          a1kq
          k(k-1)
          2
          =a1n+kq
          n(n-1)+k(k-1)
          2

          Tm2=a12mqm(m-1),n+k=2m,k<m<n
          a12m=a1n+k
          n(n-1)+k(k-1)
          2
          =
          n2+k2
          2
          -m
          (
          n+k
          2
          )
          2
          -m=m2-m

          ∴q>1時(shí),Tn•TkTm2;q<1時(shí),Tn•TkTm2
          (3)證明:由(1)知,充分性成立;
          必要性:若數(shù)列{an}是公比為q(q>0)的等比數(shù)列,則an=a1qn-1
          ∴q≠1時(shí),Tn=a1nq
          n(n-1)
          2

          Tn
          Tm
          =
          a1nq
          n(n-1)
          2
          a1mq
          m(m-1)
          2
          =a1n-mq
          (n-m)(n+m+1)
          2

          Tn-mq(n-m)m=a1n-mq
          (n-m)(n-m-1)
          2
          •q(n-m)m=a1n-mq
          (n-m)(n+m+1)
          2

          Tn
          Tm
          =Tn-mq(n-m)m

          ∴對(duì)?n,m∈N+,當(dāng)n>m時(shí),總有
          Tn
          Tm
          =Tn-mq(n-m)m
          (q>0是常數(shù))
          同理可證,當(dāng)q=1時(shí),也成立
          ∴命題p:“對(duì)?n,m∈N+,當(dāng)n>m時(shí),總有
          Tn
          Tm
          =Tn-mq(n-m)m
          (q>0是常數(shù))”是命題t:“數(shù)列{an}是公比為q(q>0)的等比數(shù)列”的充要條件.
          點(diǎn)評(píng):本題考查等比數(shù)列的定義,考查新定義,考查充要性的證明,綜合性強(qiáng),難度大.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn,且Sn=3n+1.
          (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
          (2)設(shè)bn=an(2n-1),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為Sn,a1=
          3
          2
          Sn=2an+1-3

          (1)求a2,a3
          (2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;
          (3)設(shè)bn=(2log
          3
          2
          an+1)•an
          ,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和Tn

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2an+
          3
          2
          ×(-1)n-
          1
          2
          ,n∈N*
          (Ⅰ)求an和an-1的關(guān)系式;
          (Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
          (Ⅲ)證明:
          1
          S1
          +
          1
          S2
          +…+
          1
          Sn
          10
          9
          ,n∈N*

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          不等式組
          x≥0
          y≥0
          nx+y≤4n
          所表示的平面區(qū)域?yàn)镈n,若Dn內(nèi)的整點(diǎn)(整點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))個(gè)數(shù)為an(n∈N*
          (1)寫出an+1與an的關(guān)系(只需給出結(jié)果,不需要過程),
          (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
          (3)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為SnTn=
          Sn
          5•2n
          ,若對(duì)一切的正整數(shù)n,總有Tn≤m成立,求m的范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2013•鄭州一模)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n-1,則
          S4
          a3
          的值為( 。

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          同步練習(xí)冊(cè)答案