Question

【題目】設(shè)．求最小的正整數(shù)n，使得對(duì)A的任意11個(gè)子集，只要它們中任何5個(gè)的并的元素個(gè)數(shù)都不少于n，則這11個(gè)子集中一定存在3個(gè)，它們的交非空．

Answer 1

【答案】22

【解析】

n的最小值為22．

首先證明：．令，，

，．

顯然，，，，，．

于是，對(duì)其中任何三個(gè)子集，必有兩個(gè)同時(shí)為或者同時(shí)為，其交為空集．對(duì)其中任何五個(gè)子集，

有

，且任何三個(gè)子集的交為空集，故．

其次證明：符合條件．假定存在A的11個(gè)子集，它們中任何五個(gè)的并不少于22個(gè)元素，而任何三個(gè)的交都為空集．因每個(gè)元素至多屬于兩個(gè)子集，不妨設(shè)每個(gè)元素恰好屬于兩個(gè)子集（否則，在一些子集中添加一些元素，上述條件仍然成立）．由抽屜原理，此11個(gè)子集中必有一個(gè)子集（設(shè)為B）至少含有個(gè)元素．又設(shè)其他10個(gè)子集為，那么，不含B的任何五個(gè)子集，都對(duì)應(yīng)A中的至少22個(gè)元素，所有不含B的5—子集組一共至少對(duì)應(yīng)個(gè)元素．

另一方面，對(duì)于元素a，若，則中有兩個(gè)含有a，于是，a被計(jì)算了次；若，則中有一個(gè)含有a，于是，a被計(jì)算了次．從而， ．

由此可得，矛盾．

綜上所述，n的最小值為22．