Question

已知n次多項(xiàng)式P_n(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n,如果在一種算法中,計算x₀^k(k=2,3,4,…,n)的值需要k-1次乘法,計算P₃(x₀)的值共需要9次運(yùn)算(6次乘法,3次加法),那么計算P₁₀(x₀)共需要__________次運(yùn)算.

下面給出一種算法:P₀(x)=a₀,P_k+1(x)=xP_k(x)+a_k+1(k=0,1,2,…,n-1).利用該算法,計算P₃(x₀)的值共需要6次運(yùn)算,計算P₁₀(x₀)的值共需要__________次運(yùn)算.

Answer 1

思路分析：計算P₃(x₀)時為P₃(x₀)=a₀x₀³+a₁x₀²+a₂x₀+a₃,其中x₀^k需k-1次乘法,

∴a_n-kx₀^k共需k次乘法.

上式中運(yùn)算為3+2+1=6次,另外還有3次加法,共9次.

由此產(chǎn)生規(guī)律:

當(dāng)計算P₁₀(x₀)時有P₁₀(x₀)=a₀x₀¹⁰+a₁x₀⁹+…+a₁₀.

計算次數(shù)為+10=65次.第2個空中需注意

P₃(x₀)=xP₂(x₀)+a₃,

P₂(x)=xP₁(x₀)+a₂,

P₁(x)=xP₀(x₀)+a₁.

顯然P₀(x₀)為常數(shù)不需計算.

∴計算為每次一個乘運(yùn)算和一個加運(yùn)算共3×2=6次.

由此可推得

P₁₀(x₀)=xP₉(x₀)+a₁₀,

P₉(x₀)=xP₈(x₀)+a₉,

…,

P₁(x)=xP₀(x₀)+a₁.

答案：65  20