Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R，且a≠0），當x∈[-3，1]時，有f（x）≤0；當x∈（-∞，-3）∪（1，+∞）時，有（x）＞0，且f（2）=5．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當x∈[1，3]時，函數(shù)f（x）的圖象始終在函數(shù)g（x）=mx-7的圖象上方，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意知，-3，1是二次方程ax²+bx+c=0的兩根，從而可求得f（x）的解析式；
（2）x²+2x-3＞mx-7在x∈[1，3]時恒成立，可轉化為：m＜x+

4

x

+2在x∈[1，3]時恒成立，應用基本不等式即可．

解答：解：（1）由題意知，-3，1是二次方程ax²+bx+c=0的兩根．
可設f（x）=a（x-1）（x+3）（a≠0）…4
∵f（2）=5，∴f（2）=5a=5，即a=1，
∴f（x）=x²+2x-3…6
（2）由題意知，f（x）＞g（x）在x∈[1，3]時恒成立，即x²+2x-3＞mx-7在x∈[1，3]時恒成立，…10
故m＜x+

4

x

+2在x∈[1，3]時恒成立，
而x+

4

x

+2≥2

4

+2=6．（當且僅當x=2時等號成立．）
故m＜6…13

點評：本題考查基本不等式，難點在于對題目條件反映的“-3，1是二次方程ax²+bx+c=0的兩根”的理解，著重考查化歸思想，屬于中檔題．