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        1. 已知函數(shù)f(x)滿足xf(x)=b+cf(x),b≠0,f(2)=-1,且f(1-x)=-f(x+1)對兩邊都有意義的任意 x都成立
          (1)求f(x)的解析式及定義域
          (2)寫出f(x)的單調(diào)區(qū)間,并用定義證明在各單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)?

          解:(1)由xf(x)=b+cf(x),b≠0,∴x≠c,得f(x)=,
          由f(1-x)=-f(x+1),得=-,解得c=1,
          由f(2)=-1,得-1=,解得b=-1,
          ∴f(x)==,
          ∵1-x≠0,∴x≠1,即f(x)的定義域為{x|x≠1}.
          (2)f(x)的單調(diào)區(qū)間為(-∞,1),(1,+∞)且都為增區(qū)間,
          證明:當(dāng)x∈(-∞,1)時,設(shè)x1<x2<1,
          則1-x1>0,1-x2>0,
          ∴f(x1)-f(x2)=-=,
          ∵1-x1>0,1-x2>0,
          ∴f(x1)-f(x2)<0,
          即f(x1)<f(x2),
          ∴f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增.同理f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.
          分析:(1)由xf(x)=b+cf(x)可求得f(x))=,由f(1-x)=-f(x+1)可得c值,由f(2)=-1可得b值,由表達(dá)式可得定義域;
          (2)借助基本函數(shù)的單調(diào)性易求其單調(diào)區(qū)間,用定義即可證明;
          點評:本題考查函數(shù)解析式的求解及單調(diào)區(qū)間的證明,屬基礎(chǔ)題,定義是證明函數(shù)單調(diào)性的基本方法.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)f(y),(x,y∈R)且f(1)=
          1
          2

          (1)若n∈N*時,求f(n)的表達(dá)式;
          (2)設(shè)bn=
          nf(n+1)
          f(n)
            (n∈N*)
          ,sn=b1+b2+…+bn,求
          1
          s1
          +
          1
          s2
          +…+
          1
          sn

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x) 滿足f(x+4)=x3+2,則f-1(1)等于(  )

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)滿足f(x)+f'(0)-e-x=-1,函數(shù)g(x)=-λlnf(x)+sinx是區(qū)間[-1,1]上的減函數(shù).
          (1)當(dāng)x≥0時,曲線y=f(x)在點M(t,f(t))的切線與x軸、y軸圍成的三角形面積為S(t),求S(t)的最大值;
          (2)若g(x)<t2+λt+1在x∈[-1,1]時恒成立,求t的取值范圍;
          (3)設(shè)函數(shù)h(x)=-lnf(x)-ln(x+m),常數(shù)m∈Z,且m>1,試判定函數(shù)h(x)在區(qū)間[e-m-m,e2m-m]內(nèi)的零點個數(shù),并作出證明.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)滿足:f(p+q)=f(p)f(q),f(1)=3,則
          f2(1)+f(2)
          f(1)
          +
          f2(2)+f(4)
          f(3)
          +
          f2(3)+f(6)
          f(5)
          +
          f2(4)+f(8)
          f(7)
          =
          24.
          24.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•珠海二模)已知函數(shù)f(x)滿足:當(dāng)x≥1時,f(x)=f(x-1);當(dāng)x<1時,f(x)=2x,則f(log27)=( 。

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          同步練習(xí)冊答案