Question

已知點(diǎn)M（-5，0）、C（1，0），B分

MC

所成的比為2．P是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足|

PC

|•|

BC

|=

PB

•

CB

．
（1）求點(diǎn)P的軌跡C對(duì)應(yīng)的方程；
（2）已知點(diǎn)A（m，2）在曲線C上，過點(diǎn)A作曲線C的兩條弦AD、AE，且AD、AE的斜率k₁、k₂滿足k₁k₂=2．試推斷：動(dòng)直線DE有何變化規(guī)律，證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）欲求點(diǎn)P的軌跡C對(duì)應(yīng)的方程，設(shè)P（x，y），只須求出其坐標(biāo)x，y的關(guān)系式即可，利用向量條件，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入|

PC

|•|

BC

|=

PB

•

CB

，即得；
（2）設(shè)直線DE的方程為y=kx+b，D（x₁，y₁）、E（x₂，y₂），將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系結(jié)合題中條件：“k₁•k₂=2”即可求得結(jié)果，從而解決問題．

解答：解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)M（-5，0）、C（1，0），B分

MC

所成的比為2，
所以xB=

xM+2xC

1+2

=

-5+2

1+2

=-1，yB=0．
設(shè)P（x，y）代入|

PC

|•|

BC

|=

PB

•

CB

，得

(x-1)2+y2

=1+x．
化簡(jiǎn)得y²=4x．
（2）將A（m，2）代入y²=4x，得m=1，即A（1，2）．
∵k₁k₂=2，∴D、E兩點(diǎn)不可能關(guān)于x軸對(duì)稱，∴DE的斜率必存在．
設(shè)直線DE的方程為y=kx+b，D（x₁，y₁）、E（x₂，y₂）
由

y=kx+b y2=4x

得k²x²+2（kb-2）x+b²=0．
∵k₁•k₂=2，∴

y1-2

x1-1

•

y2-2

x2-1

=2  (x1、x2≠1)．
且y₁=kx₁+b、y₂=kx₂+b．
∴（k²-2）x₁x₂+（kb-2k+2）（x₁+x₂）+（b-2）²-2=0．
將x1+x2=

-2(kb-2)

k2

，x1x2=

b2

k2

代入化簡(jiǎn)得b²=（k-2）²，∴b=±（k-2）．
（i）將b=k-2代入y=kx+b得y=kx+k-2=k（x+1）-2，過定點(diǎn)（-1，-2）．
（ii）將b=2-k入y=kx+b得y=kx+2-k=k（x-1）+2．
過定點(diǎn)（1，2）．即為A點(diǎn)，不合題意，舍去．
∴直線DE恒過定點(diǎn)（-1，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的問題、直線與圓錐曲線的綜合問題．要能較好的解決拋物線問題，必須熟練把握好直線與拋物線的位置關(guān)系篩處理方法．