Question

如圖，在各棱長(zhǎng)均為2的三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，側(cè)面A₁ACC₁上底面ABC，∠A₁AC=60°．

(1)求側(cè)棱AA₁與平面AB₁C所成角的大��；

(2)已知點(diǎn)D滿(mǎn)足，在直線AA₁上是否存在點(diǎn)P，使DP∥平面AB₁C?若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：∵側(cè)面A₁ACC₁⊥底面ABC，作A₁O上AC于點(diǎn)O，

    ∴A₁O⊥平面ABC．

    又∠ABC=∠A₁AC=60°，且各棱長(zhǎng)都相等，

    ∴AO=1，OA₁=OB=，BO⊥AC．

故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O一，

則A(0，一1，0)，B(，0，0)，A₁(0，0，)，C(0，1，0)， =(0，1，)．

∴,．

設(shè)平面AB₁C的法向量為

則

解得n=(一1，0，1)．

由．

而側(cè)棱AA₁與平面AB₁C所成角，即是向量與平面AB₁C的法向量所成銳角的余角，

∴側(cè)棱AA₁與平面AB₁C所成的角為．

(2)∵，

而，．

∴．

又∵B(，0，0)，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為D(一，0，0)．

假設(shè)存在點(diǎn)P符合題意，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可設(shè)為P(0，，)．

∴

∴DP//平面AB₁C，n=(一1，0，1)為平面AB₁C的法向量，

∴由，得，∴．

    又DP平面AB₁C，

    故存在點(diǎn)P，使DP//平面AB₁C，其坐標(biāo)為(0，0，)，即恰好為A₁點(diǎn)．