Question

函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的一段圖象如圖所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調(diào)減區(qū)間，并指出f（x）的最大值及取到最大值時(shí)x的集合；
（3）把f（x）的圖象向左至少平移多少個(gè)單位，才能使得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)？

Answer 1

分析：（1）由圖可求得A，由T=π可求ω，x=-

π

6

時(shí)，y=0，可求φ；
（2）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）可求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間，繼而可得函數(shù)f（x）的最大值及取到最大值時(shí)x的集合；
（3）利用誘導(dǎo)公式，可將f（x）=sin（2x+

π

3

）轉(zhuǎn)化為f（x）=cos2（x-

π

12

），從而可得答案．

解答：解：（1）從圖知，函數(shù)的最大值為1，
則A=1，函數(shù)f（x）的周期為T=4×（

π

12

+

π

6

）=π，而T=

2π

ω

，則ω=2，
又x=-

π

6

時(shí)，y=0，
∴sin（2×（-

π

6

）+φ）=0，而|φ|＜

π

2

，則φ=

π

3

，
∴函數(shù)f（x）的表達(dá)式為f（x）=sin（2x+

π

3

）…（4分）
（2）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

得：
kπ+

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

（k∈Z），
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+

π

12

，kπ+

5π

12

]（k∈Z）．
函數(shù)f（x）的最大值為1，取到最大值時(shí)x的集合為{x|x=kπ+

π

12

，k∈Z}…7分
（3）f（x）=sin（2x+

π

3

）
=cos[

π

2

-（2x+

π

3

）]
=cos（2x-

π

6

）
=cos2（x-

π

12

），
故至少左移

π

12

個(gè)單位，才能使得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)…10分

點(diǎn)評(píng)：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查綜合分析與運(yùn)算能力，屬于難題．