Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

a

2

x2-1+cosx(a＞0)
（1）當(dāng)a=1時(shí)，證明：函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）若y=f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，求正數(shù)a的范圍；
（3）在（1）的條件下，設(shè)數(shù)列{a_n} 滿足：0＜an＜1，且a _n+1=f（an），求證0＜a _n+1＜a_n＜1．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，證明函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在（0，+∞）上大于0恒成立，即可說(shuō)明函數(shù)是增函數(shù)；
（2）y=f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，故其導(dǎo)數(shù)在（0，+∞）上恒大于0，由此不等式求正數(shù)a的范圍；
（3）本題中的不等式與自然數(shù)有關(guān)，此類不等式一般采用數(shù)學(xué)歸納法證明，故有數(shù)學(xué)歸納法的做題步驟證明0＜a _n+1＜a_n＜1．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）=

1

2

x2-1+cosx，g（x）=f′（x）=x-sinx＞0在（0，+∞）上恒成立，故函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）由f（x）=

a

2

x2-1+cosx(a＞0)
h（x）=f′（x）=ax-sinx
若y=f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
則f′（x）=ax-sinx＞0恒成立…（5分）
當(dāng)a≥1時(shí)，對(duì)任意x∈（0，+∞），
恒有ax≥x＞sinx，此時(shí)f′（x）=ax-sinx＞0
所以y=f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，h′（x）=a-cosx
令導(dǎo)數(shù)h′（x）=0
得cosx=a在（0，

π

2

）上存在x₀使得cosx₀=a
當(dāng)x∈（0，x₀），h′（x）=a-cosx＜0，h（x）=f′（x）＜f′（0）=0
這與y=f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)即f′（x）=ax-sinx＞0
恒成立矛盾，所以a≥1
（3）由（1）當(dāng)0＜x＜1，0=f（0）＜f（x）＜F（1）=-

1

2

+cos1＜1
當(dāng)0＜a₁＜1，a₂=f（a₁）∈（0，1），假設(shè)0＜a_k＜1，則a_k+1=f（a_k）∈（0，1），
又a_n-a_n+1=a_n-

1

2

a_n²+1-cosa_n，
因?yàn)閍_n-

1

2

a_n²+1∈（1，

3

2

），cos1＜cosa_n＜1所以
a_n-a_n+1=a_n-

1

2

a_n²+1-cosa_n＞0，即a_n＞a_n+1，
所以0＜a _n+1＜a_n＜1

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是了解導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，且能根據(jù)這一關(guān)系證明單調(diào)性，及根據(jù)它建立不等式求參數(shù)，本題中第三小題用到了數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，要注意數(shù)學(xué)歸納法的步驟．本題運(yùn)算過(guò)程較長(zhǎng)，運(yùn)算量較大，解題時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真，避免運(yùn)算出錯(cuò)導(dǎo)致解題失�。�