Question

已知函數(shù)f(x)=sin2ωx+

3

sinωxsin(ωx+

π

2

)(ω＞0)的最小正周期為

π

2

，
（1）寫出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若x為不等邊三角形的最小內(nèi)角，求f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將函數(shù)進行降次，再用輔助角公式合并，可得f（x）=sin（2ωx-

π

6

）+

1

2

，利用三角函數(shù)周期公式可得ω=2，最后根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性的結(jié)論，可得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）不等邊三角形的最小內(nèi)角x應(yīng)該在（0，

π

3

），由此可得4x-

π

6

∈（-

π

6

，

7π

6

 ），所以sin（4x-

π

6

）∈（-

1

2

，1]，從而得到f（x）的值域為（0，

3

2

]．

解答：解：（1）f(x)=sin2ωx+

3

sinωxsin(ωx+

π

2

)=

1

2

（1-cos2ωx）+

3

sinωxcosωx
=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx+

1

2

=sin（2ωx-

π

6

）+

1

2

∵函數(shù)的周期T=

2π

2ω

=

π

2

，
∴2ω=4，函數(shù)表達式為f（x）=sin（4x-

π

6

）+

1

2

令-

π

2

+2kπ≤4x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，得-

π

12

+

1

2

kπ≤x≤

π

6

+

1

2

kπ，k∈Z
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-

π

12

+

1

2

kπ，

π

6

+

1

2

kπ]，（k∈Z）
（2）∵x為不等邊三角形的最小內(nèi)角，
∴x∈（0，

π

3

）
∴4x-

π

6

∈（-

π

6

，

7π

6

 ），可得sin（4x-

π

6

）∈（-

1

2

，1]
由此可得，f（x）=sin（4x-

π

6

）+

1

2

的值域為：（0，

3

2

]

點評：本題將一個三角函數(shù)式化簡，并求函數(shù)的增區(qū)間和值域，著重考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的周期的求法和三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用等知識，屬于中檔題．