Question

（本小題滿分12分）已知橢圓C：（a>b>0）的離心率為，其左、右焦點(diǎn)分別是F₁、F₂，點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，且｜OP｜＝，·＝（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

   （Ⅰ）求橢圓C的方程；

   （Ⅱ）直線y＝x與橢圓C在第一象限交于A點(diǎn)，若橢圓C上兩點(diǎn)M、N使＋＝λ，λ∈（0，2）求△OMN面積的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)

由得，                               ……1分

由得，

即                                                    ……2分

所以，又因?yàn)?sub>，所以                         ……3分

橢圓C的方程為：；                                        ……4分

（Ⅱ）解法一:由得，

設(shè)直線的方程為,聯(lián)立方程組

消去y得：                        ……5分

設(shè),

則                            ……6分

             

∵，∴，

得,于是           ……8分

  ……9分

到直線的距離為

∴，

當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立，的最大值為           ……12分

解法二:由得，

設(shè)則

∴…………①                      ……5分

∵，

∴，代入①得，                    ……6分

設(shè)直線的方程為          ……7分

橢圓方程得  

，

                              ……9分

到直線的距離為

∴，                          ……11分

當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，的最大值為                  ……12分