Question

設數列{a_n}是有窮等差數列，給出下面數表：
a₁  a₂    a₃     …a_n-1 a_n 第1行
a₁+a₂   a₂+a₃   …a_n-1+a_n  第2行
…
…
…第n行
上表共有n行，其中第1行的n個數為a₁，a₂，a₃…a_n，從第二行起，每行中的每一個數都等于它肩上兩數之和．記表中各行的數的平均數（按自上而下的順序）分別為b₁，b₂，b₃…b_n．
（1）求證：數列b₁，b₂，b₃…b_n成等比數列；
（2）若a_k=2k-1（k=1，2，…，n），求和．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設易知，b₁=，b₂=a₁+a_n，容易得，b_k+1=c₁+c_n-k+1，于是，可證明
（2）由（1）求，=，則a_k=2k-1時，a_kb_k=（2k-1）•2^k-1，利用錯位相減可求數列的和
解答：（1）證明：由題設易知，=，
=．
設表中的第k（1≤k≤n-1）行的數為c₁，c₂…c_n-k+1，顯然c₁，c₂…c_n-k+1，成等差數列，則它的第k+1行的數是c₁+c₂，c₂+c₃…c_n-k+c_n-k+1也成等差數列，它們的平均數分別是，b_k+1=c₁+c_n-k+1，于是（1≤k≤n-1，k∈N^*）．
故數列b₁，b₂…b_n是公比為2的等比數列．（7分）
（2）由（1）知，=，
故當a_k=2k-1時，，．
于是n．  （9分）
設，
則S=1•2+3•2¹+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1①
2S=1•2+3×2²+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ②
①-②得，-S=1×2+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ，
化簡得，S=（2n-1）•2ⁿ-2ⁿ⁺¹+3，
故=n（2n-1）•2n-n•2ⁿ⁺¹+3n．（14分）
點評：本題主要考查了等比數列的定義在等比數列的證明中的應用，錯位相減求解數列的和，解題的關鍵需要由已只條件中的信息提煉出相關的遞推關系