Question

已知函數(shù)f(x)=2

3

sinxcosx+2cos2x+a-1(a∈R，a是常數(shù)）
（1）求f(

5π

3

)的值；
（2）若函數(shù)f（x）在[-

π

4

，

π

4

]上的最大值與最小值之和為

3

，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角、輔助角公式化簡函數(shù)，再代入計算即可；
（2）先求出函數(shù)f（x）在[-

π

4

，

π

4

]上的最大值與最小值，再利用和為

3

，即可求實數(shù)a的值．

解答：解：（1）f(x)=2

3

sinxcosx+2cos2x+a-1=

3

sin2x+cos2x+a=2sin(2x+

π

6

)+a…（3分）
∴f(

5π

3

)=2sin(

10π

3

+

π

6

)+a=a-2…（5分）
（2）∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，∴2x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，∴sin(2x+

π

6

)∈[-

3

2

，1]…（7分）
∴-

3

+a≤f(x)≤2+a
即ymax=2+a，ymin=-

3

+a…（10分）
由已知得-

3

+a+2+a=

3

所以a=

3

-1…（12分）

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡，考查函數(shù)的最值，考查學生的計算能力，屬于基礎題．