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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          已知定義在R上的函數f(x)=x2|x-a|(a∈R).
          (1)判定f(x)的奇偶性,并說明理由;
          (2)當a≠0時,是否存在一點M(t,0),使f(x)的圖象關于點M對稱,并說明理由.
          分析:(1)根據f(x)=x2|x-a|(a∈R),可對a分類討論,根據函數奇偶性的定義即可判斷;
          (2)可假設存在一點M(t0,0)使f(x)的圖象關于點M對稱,故f(t0+x)=-f(t0-x);
          分當t0=a時,取x=a,有f(2a)=-f(0)=0,從而可得a=0,導出矛盾;
          當t0≠a時,取x=a-t0,f(a)=-f(2t0-a)=0,可解得t0=
          a
          2
          ,再取x=0,從而可得a=0,導出矛盾;于是可得結論.
          解答:解:(1)a=0時,f(x)為偶函數;a≠0時,f(x)為非奇非偶函數.
          (2)不存在.
          假設存在一點M0(t0,0)使f(x)的圖象關于點M對稱,
          則對x∈R應恒有f(t0+x)=-f(t0-x).
          當t0=a時,取x=a,
          則f(2a)=-f(0)=0,∴4a2|a|=0,∴a=0這與a≠0矛盾.當t0≠a時,
          取x=a-t0,
          則f(a)=-f(2t0-a)=0.∴(2t0-a)2|2t0-2a|=0,∵2t0-2a≠0,∴t0=
          a
          2
          .而t0=
          a
          2
          時,取x=0,
          f(
          a
          2
          )=-f(
          a
          2
          )
          f(
          a
          2
          )=0
          .∴
          a2
          4
          |
          a
          2
          |=0⇒a=0
          這也與已知矛盾.
          綜上,不存在這樣的點M.
          點評:本題考查函數奇偶性的判斷,難點在于對假設存在一點M0(t0,0)使f(x)的圖象關于點M對稱,得到f(t0+x)=-f(t0-x)后,對t0分t0=a與t0≠a時的討論分析,考查學生的分析與轉化能力,屬于難題.
          練習冊系列答案
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          ①對任意的x∈R都有f(x+2)=f(x);
          ②若0≤x1<x2≤1,都有f(x1)>f(x2);
          ③y=f(x+1)是偶函數,
          則下列不等式中正確的是( 。

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          log2(1-x),       x≤0
            則:
          ①f(3)的值為
          0
          0
          ,
          ②f(2011)的值為
          -1
          -1

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          科目:高中數學 來源: 題型:

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          1,(-1<x≤0)
          -1,(0<x≤1)
          ,則f(3)=( 。

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          已知定義在R上的函數f(x)是偶函數,對x∈R都有f(2+x)=f(2-x),當f(-3)=-2時,f(2013)的值為(  )
          A、-2B、2C、4D、-4

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          已知定義在R上的函數f(x),對任意x∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,若函數y=f(x+1)的圖象關于直線x=-1對稱,則f(2013)=( 。
          A、0B、2013C、3D、-2013

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