Question

【題目】已知關于x的不等式|x﹣a|＜b的解集為{x|2＜x＜4}．
（Ⅰ）求實數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）設實數(shù)x，y，z 滿足 + + =1，求x，y，z的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由|x﹣a|＜b解得{x|a﹣b＜x＜a+b}，結合不等式|x﹣a|＜b的解集為{x|2＜x＜4}， 可得a﹣b=2且a+b=4，解得a=3，b=1．
（Ⅱ）依題意有 + + =1，由柯西不等式知
[42+ +22][ + + ]≥ ，
即25×1≥（x+y+z﹣2）2 ， 解得﹣3≤x+y+z≤7，
當且僅當x= ，y=﹣1，z= 時，x+y+z=7；
當且僅當x=﹣ ，y=﹣3，z= 時，x+y+z=﹣3；
所以，x+y+z的最大值為7，最小值為﹣3
【解析】（Ⅰ）由|x﹣a|＜b解得{x|a﹣b＜x＜a+b}，結合不等式|x﹣a|＜b的解集為{x|2＜x＜4}，可得a﹣b=2且a+b=4，由此求得a、b的值．（Ⅱ）由條件利用柯西不等式求得x，y，z的最大值和最小值．
【考點精析】掌握絕對值不等式的解法是解答本題的根本，需要知道含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關鍵是去掉絕對值的符號．