Question

已知橢圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形，且直線x-y+b=0是拋物線y²=4x的一條切線．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點且斜率為1的直線l交橢圓C于M、N兩點，求|MN|的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）直線x-y+b=0與拋物線y²=4x聯(lián)立，消去y得：x2+（2b-4）x+b2=0
∵直線x-y+b=0與拋物線y²=4x相切，
∴△=（2b-4）²-4b²=0，∴b=1，
∵橢圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形，
∴a=b=
∴所求橢圓方程為；
（Ⅱ）將直線l：y=x-與橢圓方程聯(lián)立，消去y可得3x²-2x-=0
設(shè)點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x₁+x₂=，x₁x₂=-
∴|AB|=|x₁-x₂|==
分析：（Ⅰ）把拋物線和直線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)△=0求出b，再根據(jù)兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形得出a和b的關(guān)系式，求得a；
（Ⅱ）將直線l：y=x-與橢圓方程聯(lián)立，消去y，利用韋達(dá)定理，即可求|AB|．
點評：本題考查直線與拋物線、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查韋達(dá)定理的運用，屬于中檔題．