Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，已知sin

C

2

=

10

4

（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若△ABC的面積為

3 15

4

，且sin2A+sin2B=

13

16

sin2C，
（1）求a，b，c的值；
（2）若a＜b＜c已知f(x)=

b

sinωx+(a-c)cos2

ωx

2

(x∈R)，其中ω＞0對任意的t∈R，函數(shù)f（x）在x∈[t，t+π）的圖象與直線y=-1有且僅有兩個不同的交點，試確定ω的值（不必證明），并求出函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)二倍角的余弦函數(shù)公式表示出cosC，把已知的sin

C

2

的值代入即可求出值；
（Ⅱ）（1）先根據(jù)三角形的面積公式表示出△ABC的面積，由cosC的值和C的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinC的值，把sinC的值代入表示出的面積中，求出ab的值，然后利用正弦定理化簡已知的等式，得到一個關(guān)系式，記作①，利用余弦定理表示出另外一個關(guān)系式，記作②，把①和ab的值代入②，求出c的值，把c的值代入①，和ab的值聯(lián)立組成方程組，即可求出a與b的值；
（2）根據(jù)a＜b＜c確定出a，b，c的值，代入f（x）中，利用周期公式由f（x）的周期求出ω的值，確定出f（x）的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可求出f（x）的增區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）把sin

C

2

=

10

4

代入得：cosC=1-2sin2

C

2

=-

1

4

；
（Ⅱ）（1）由cosC=-

1

4

，C∈（0，π），得到sinC=

15

4

，
∵S=

1

2

absinC，∴ab=6．
∵sin2A+sin2B=

13

16

sin2C，根據(jù)正弦定理得：a2+b2=

13

16

c2①，
則根據(jù)余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC②，
①代入②得：c²=16，解得：c=4，
∴

a=2 b=3

或

a=3 b=2

；
（2）取a=2，b=3．c=4，則f(x)=2sin(ωx-

π

6

)-1，
由題意得：T=π，
∴ω=2，f(x)=2sin(2x-

π

6

)-1，
則-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴x∈[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ](k∈Z)時，f（x）單調(diào)遞增．

點評：本題的綜合性比較強(qiáng)，要求學(xué)生熟練掌握正弦、余弦定理以及二倍角的余弦函數(shù)公式，培養(yǎng)學(xué)生分析問題，解決問題的能力．學(xué)生注意在作下一問題時注意利用上一問的結(jié)論．