Question

設(shè)（x＞0）．
（1）求f（x）的反函數(shù)f^-1（x）
（2）若x≥2時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵（x＞0）∴y＞1（2分）
由原式有：∴
∴（2分）
∴x∈（1，+∞）（2分）
（2）∵
∴（x＞0）
∴
∴
∴（2分）
①當(dāng)a+1＞0即a＞-1時(shí)對(duì)x≥2恒成立
②當(dāng)a+1＜0即a＜-1時(shí)對(duì)x≥2恒成立
∴此時(shí)無(wú)解（3分）
綜上-（1分）
分析：（1）從條件中函數(shù)式=y，（x＞0）中反解出x，再將x，y互換即得f（x）的反函數(shù)f^-1（x）．
（2）利用（1）的結(jié)論，將不等式化成，下面對(duì)a分類(lèi)討論：①當(dāng)a+1＞0；②當(dāng)a+1＜0．分別求出求實(shí)數(shù)a的取值范圍，最后求它們的并集即可．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查反函數(shù)、函數(shù)恒成立問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．求反函數(shù)，一般應(yīng)分以下步驟：（1）由已知解析式y(tǒng)=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交換x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函數(shù)的定義域（一般可通過(guò)求原函數(shù)的值域的方法求反函數(shù)的定義域）．